Egyenes egyenletebol hogyan lehet kiszamolni a normálvektorat es meredekseget?

Ez nagyon hasznos kis videó a témában:

[link]

Normálvektoros egyenlet: Ax + By = Ax0 + By0 (ilyen van megadva is)

Ilyen esetben

Normál vektor: (A,B)

Irányvektor: (B, -A) (tekintve, hogy merőleges a normálvektorra)

Meredekség:

Mennyi megy az egyenes y irányba, ha 1-et mozog x irányba. Azaz m = (y-y0)/(x-x0), ahol (x-x0) nem lehet 0.

Az egyenes meredekségével kifejezett egyenlet, pont ebből következik:

(y - y0) = m(x - x0)

Irányvektorból számítva:

Irányvektor meredeksége az egyenes meredeksége, hiszen párhuzamosak. (bár lehet -1szerese is, hiszen az egyenesnek nincs iránya, míg a vektornak van.)

Irányvektor: (I,J) az x koordináta együtthatójával (abszcissza) kell osztani az y koordináta együtthatóját (ordináta)

m = J/I

Normálvektoros egyenletből:

Ax + By = C

y = (C - Ax) / B

y = -(A/B)x + C/B,

melyből az egyenes (m) meredekségének értéke: m = -A/B.

Normálvektorból:

Normálvektorból irányvektort csinálunk és azt normáljuk első koordináta szerint:

normálvektor (A,B) => irányvektor: (B, -A), Meredekség: m = - A/B

(ugyan az, mint normálvektoros egyenlet esetén)

Adnék egy másik megoldást;

keress két pontot az egyenesről! Olyan pontokat keresünk, amelyeknek a koordinátái kielégítik a fenti egyenletet, például az A(0;6) pont ilyen, mivel 4*0+3*6=18. Egy másik lehetséges pont; B(3;2). Ha ezzel megvagy, akkor nincs más dolgod, mint felírni az AB vektort, ez lesz az egyenes (egyik) irányvektora (végtelen sok irányvektora van, ezek mind párhuzamosak egymással). Ebből a normálvektort a tanultak szerint kapod.

Megfelelő pontot úgy tudsz találni, hogy valamelyik betű helyére beírsz egy számot, ezzel egy egyismeretlenes egyenlet matad, amit meg tudsz oldani; például ha x=4, akkor az egyenlet: 4*4+3y=18, erre y=2/3 adódik, tehát a C(4;2/3) az egyenes egy pontja. Saját érdekünkben érdemes olyan pontokat keresni, amelyeknek mindkét koordinátája egész, ez a gyakorlással hamar elsajátítható, de különösebben az sem problémás, hogyha nem egészek a koordináták, csak így kicsit körülményesebb a számolás (közös nevezőre hozás, stb), és az eredmény is jó eséllyel tört marad, ami annyira nem szép.

Természetesen az előző megoldás is jó, de minél több megoldási módszert ismersz, annál jobb neked.

Elég hosszasan fogalmaznak az itteni válaszolók, pedig egyszerűen is le lehetne írni a dolgokat. Mindegy, ez valahogy mostanság divattá vált.

1. meredekség: Az egyenes egyenletét ún. tengelymetszetes alakra, azaz y=m*x+k alakra kell rendezni. Ebben k az eltolás, valós, és m jelenti a meredekséget, amit az egyenletből kiolvashatunk ránézésre.

A példádban a tengelymetszetes alak:

y=-(4/3)*x+6.

Ebből ránézésre látjuk, hogy m=-4/3 a meredekség.

2. A normálvektor előállítása sem egy nagy was ist das. Tekintsünk ugyanis egy origón áthaladó y=M*x egyenletű egyenest, amely merőleges az eredeti egyenesre.

Tekintve hogy m véges, így a M=-1/m=3/4 feltétel elégséges feltétele a két egyenes merőlegességének, vagyis a merőleges egyenesnek az egyenlete y=(3/4)*x, ezt látjuk.

Az eredeti egyenes normálvektora így már ránézésre látható, mivel az nem más, mint az előállított merőleges egyenes irányvektora, amelynek koordinátáit a meredekségből már egy óvodás is le tudja olvasni.

Gondoljuk megy ugyanis, 3/4 meredekségnél, x-ben 1 egység lépésnél y 3/4 lesz.

Azaz a normálvektor a példában n=[1, 3/4].

Persze normálvektor sok van, mert egy konstans szorzó erejéig határozatlan. Azaz a normálvektor jelen példában tetszőleges p valós esetén

n=p*[1, 3/4] alakban adható meg.

Remélem érthető, és logikusan követhető a levezetés. Ha mégsem, akkor többször olvasd el amit írtam.

Ez sem volt rövidebb. FYI. Mellékesen, ha rövidet akarsz nézz be a gatyádba :)

Az vált divattá, hogy nem megoldás, hanem gondolkodásmódot, és abból több nézőpontot adunk, hiszen ez a tudomány. Minden másra ott a wolframalpha.