Miért fogható fel Riemann-összegként a határozott integrál?

Mit nem értesz kérdező konkrétan? Mit szeretnél belátni?

Az alapelveket már leírtuk. Fejtsd ki kérlek részletesebben, mi a kérdés.

Nem annak fogható fel, konkrétan így van definiálva.

Egy f függvényről azt mondjuk, hogy integrálható az [a, b] intervallumon és az integrálja S, ha a tetszőleges c>0-hoz létezik olyan felosztása az intervallumnak, hogy az ezen felosztáson vett Riemann összeg és S eltérése kisebb mint c.

Szokás ezzel ekvivalens módon, alsó és felső közelítő összegekkel definiálni: ... integrálható, ha az alsó közelítő összegek szuprémuma megegyezik a felső közelítő összegek infimumával, és ezt a közös értéket nevezzük az integráljának.

Ebben az esetben természetesen bizonyítani kell az ekvivalenciát, ami azért, ha nem is bonyolult, de nem rövid feladat.

A határozott integrál és a Riemann összeg nem ugyan az.

Adott az f függvény, és egy [a, b] intervallum.

Vegyük az [a, b] intervallum egy felosztását: a=x_0<x_1<...<x_n=b, és i-re (i=1,...,n) az [x_(i-1), x_i] intervallumból egy c_i elemet. Ekkor az f függvény fenti felosztáshoz tartozó Riemann össze a sum(f(c_i)*(x_i-x_(i-1)), i=1,...,n).

Tehát a Riemann összeg értéke függ a felosztás választásától. Ezek után lehet definiálni az integrált, ahogy az előbb is írtam:

"Egy f függvényről azt mondjuk, hogy integrálható az [a, b] intervallumon és az integrálja S, ha a tetszőleges c>0-hoz létezik olyan felosztása az intervallumnak, hogy az ezen felosztáson vett Riemann összeg és S eltérése kisebb mint c."

Az ekvivalencia bizonyítása pedig minden valamire is való bevezető Analízis tankönyvben fellelhető.