Határozott INTEGRÁL feladat: hogyan kell ezt megoldani?

Ahogyan a #2-s is írta:

exp(x)=y

x=ln(y)

exp^-1(x)=y^-1

Határokat is újra kell gondolni:

y(0)=1

y(ln5)=5

dx=(1/y)dy

4*int(1->5) {[y/(y^-1)+4]}1/ydy

osztást elvégezve:

int(1->5) {1-1/(1+4y)}dy

[y-1/4*ln(1+4y)] megfelelő határok mellett.

A többi a tiéd, ha nem megy, szólj.

+ infó, ez "második típusú helyettesítés" néven fut

+ én előtte azért egyszerűsíteném a függvényt:

4 e^x / (4 + e^-x) =

4 e^x / (4 + 1/e^x) =

4 e^x / (4e^x/e^x + 1/e^x) =

4 e^x / ((4e^x + 1) / e^x) =

4 e^x * e^x / (1 + 4e^x) =

4 (e^x)^2 / (1 + 4e^x)

Második típusú helyettesítésünk legyen:

e^x := a

4a^2 / (1 + 4a)

Lehet felmerül benned a parciális törtre bontás fogalma, de sajnos egy másik problémába ütköznénk, ugyanis e^x + 1/(4 + 16e^x)) - 1/4 középső tagja elég ocsmány integrálás szempontjából, bár szép a levezetése, de hosszabb, mint a második típusú helyettesítés.

Szerintem egyszerűbb, mint amit az előző válaszokban javasoltatok:

Bővítsünk e^x-szel a számlálót és a nevezőt is (ezt #5 is csinálta):

∫ e^x · 4e^x / (1 + 4·e^x) dx

aztán kicsit rendezzük át:

= ∫ e^x · (4e^x + 1 − 1) / (1 + 4·e^x) dx

= ∫ e^x   −   e^x / (1 + 4·e^x) dx

= e^x − ∫ e^x / (1 + 4·e^x) dx

Az 1/(1+4e^x) -nél gyanítjuk, hogy mivel 1/valami alakú, ezért ln(valami)-szerű lesz a primitív függvénye. Ha pontosabban megnézzük visszafelé deriválással, akkor persze ln(valami) deriváltja ez lesz: valami' / valami. Viszont nagyon kellemes, hogy (1+4e^x) deriváltja 4e^x, és majdnem pont az a szorzó van ott, ahol kell.

Szóval kiderült, hogy 4e^x / (1 + 4e^x)-et könnyű integrálni, a primitív függvénye ln(1+4e^x)

Tehát a teljes primitív függvény:

e^x − 1/4 · ln(1 + 4·e^x)

A többi már evidens.