Miért π jön ki π/2 helyett?

Amiből ki jött a π/2 egy videóban láttam youtubon: [link]

Az alapján próbáltam tovább vinni, mert az e^(aix) egyszerűbbnek tűnt nekem, mint az e^((a+i)x).

A komplex részes dolog bevezetése nélkül is meg lehet csinálni az integrálást, ugyan úgy deriválással az integráljel alatt ( [link] csak bonyolultabb, mert lessz benne 2 parciális integrálás:

I(a)=int(e^(ax)*sin(x)/x)

I'(a)=int(e^(ax)*sin(x)) a<0

I'(a)=1/(a²+1)

I(a)=tan^-1(a)+C

Tudjuk, hogy I(-∞)=0

Ebből:

C=-tan^-1(-∞)=π/2

Az integrál értéke ebből I(0)=π/2

Az a<0 feltételezése helyett lehet e^(-ax) et használni.

Szerintem azért működik ez a komplex részes dolog, mert:

e^(ix)*e^(ax)/x=(cos(x)+i*sin(x))*e^(ax)/x, amit szét lehet bontani: cos(x)*e^(ax)/x+i*sin(x)*e^(ax)/x, ebből látszik tisztán, hogy a=0 esetén a komplex rész sin(x)/x

Ez a deriválás integráljel alatt módszer több, nehezebb integrál kiszámítására is alkalmas. Itt van erről egy pdf: [link]

"One thing I never did learn was contour integration. I had learned

to do integrals by various methods show in a book that my high

school physics teacher Mr. Bader had given me.

The book also showed how to differentiate parameters under

the integral sign - It’s a certain operation. It turns out that’s not

taught very much in the universities; they don’t emphasize it. But

I caught on how to use that method, and I used that one damn

tool again and again. So because I was self-taught using that book,

I had peculiar methods of doing integrals.

The result was that, when guys at MIT or Princeton had trouble

doing a certain integral, it was because they couldn’t do it with

the standard methods they had learned in school. If it was contour

integration, they would have found it; if it was a simple series

expansion, they would have found it. Then I come along and try

differentiating under the integral sign, and often it worked. So I

got a great reputation for doing integrals, only because my box of

tools was different from everybody else’s, and they had tried all

their tools on it before giving the problem to me."