Mindig van nagyobb objektum? Feltételezhetünk végtelen+n számokat?

"Nekem valahogy logikailag nem jön ki"

Akkor próbáld magad túltenni rajta, mert ez így van.

A végtelen nem egy szám, és akármi pozitívat hozzáadsz, akkor is végtelen lesz.

Alapvetően ott hibás a koncepciód, hogy a végtelent egy számként próbálod elképzelni, holott az egy matematikai fogalom. Pont arról van szó, hogy bármilyen számot is veszel alapul, ahhoz bármennyit adhatsz, az ugyanúgy a végtelen számsor része lesz.

Ez kicsit olyan mintha azon értetlenkednél, hogy ha fehér festékhez öntesz még egy kis fehér festéket, akkor miért nem lesz az eredmény kétszer annyira fehér...

Azért túl ne tedd rajta magad, hanem próbáld megtanulni mindazt, ami a végtelen megértéséhez szükséges. A végtelennel formálisan bánni könnyű, de érteni nehéz. Sok ismeret kell hozzá.

A te problémád, hogy úgy akarsz a végtelennel bánni, a végtelenről gondolkodni, hogy közben a végesre gondolsz,azokat a szabályokat használod. Mintha az óceán közepén való úszást egy kanál vízzel próbálnád magyarázni. És akkor a kanál víz tulajdonképpen túl sok.

A fokozásokkal is óvatosan bánj, ha olyan fogalmakat használsz, amiket nem értesz.

Az univerzum végtelen. Multiverzumot elképzelhetünk (vagyis azt, hogy több univerzum van). Csak ez nem több a képzelet szüleményénél, és azt teszel vele, amit akarsz. Ugye itt azért akad némi probléma. Uni, az "egy", "egyetlen". Tehát egy tér. A multi az "több". Több tér. Hol? Abban az egyben? Mellette? Akkor ma a mellette és mi az, hogy egy.

A 3 dimenziós tér az univerzum. Az n-dimenziós tér egy absztrakt fogalom, ami nem a valóság, hanem egy eszköz a matematikában. Az nem a valós tér "fokozása". Ilyent a valós térrel nem lehet tenni.

A "nincs vége". Pontosan ezt jelenti. Nem a "végét" jelöljük, mert nincs neki, előbb mondtuk. Aki ezt mondja, nem tudja miről beszél, de azt hiszi, tudja. Van ilyen, sokan szoktak tévedni.

"nekem valahogy logikailag nem jön ki". Másról beszélsz és másra gondolsz. Az "a" véges. "a+a" pedig 2a, így jelöljük. A végtelen egy absztrakt fogalom, amikor azt a fektetett nyolcast leírjuk, nem a "végét" (micsoda képtelen elképzelés) írjuk le, hanem ezzel azt mondjuk, van egy objektum, ami végtelen.

A számegyenesen nincs olyan, hogy "közelebb a végéhez", ha egyszer nincs neki vége. Olyan sincs, hogy "távolabb végétől" Amihez hasonlítunk, annak illik léteznie.

> Persze, nem szám, de egy olyan számot jelöl, ami a számegyenes vége felé van.

Nem, ez fából vaskarika. Pont arról van szó, hogy a számegyenesnek nincs vége. Nincs olyan, hogy „a vége felé”. Kitalálhatsz akármilyen hatalmas, elképzelhetetlen számot, a természetese számok halmazán „végtelenszer˝ több szám következik utána, mint amennyi előtte volt.

Tényleg azt kell megérteni, hogy a végtelen nem szám, még csak nem is számszerű fogalom. Teljesen más a jelentéstartama. Az emberek sokszor úgy próbálják elképzelni a végtelent, mint valami nagyon-nagy számot. Ez teljesen fals. Kicsit olyan ez, minthogy vannak színek: piros, kék, sárga, zöld, barna, fekete, stb… Az olyan fogalmak, minthogy tarka, pöttyös, csíkos nem színek. Van persze a színekhez közük, de nem színként kell rá gondolni.

Amúgy a végtelen és a szám fogalma között van még egy fogalmi kör, ez pedig a számosság. Ott pl. lehetnek különböző érdekes összefüggések. Pl. miből van több? Természetes számból, vagy természetes páros számból? A naiv egyszerű emberi agynak van egy olyan érzete, hogy páros számból fele annyi van. Holott bármelyik számhoz tudunk rendelni egy páros számot. Mondjuk az 1-hez a 2-őt, a 2-höz a 4-et, a 3-hoz a 6-ot, a 7-hez a 14-et. Bármelyik páros számhoz is tudunk rendelni egy természetes számot, 2→1; 4→2; 6→3; 14→7. Most az a helyzet áll így elő, hogy kivétel nélkül mindegyik természetes számhoz pontosan egy páros számot rendeltünk hozzá, és kivétel nélkül mindegyik páros számhoz pontosan egy természetes számot rendeltünk hozzá. (Ez hívják bijekciónak, kölcsönösen egyértelmű ráképezésnek) Ergo a természetes számok és a páros számok számossága azonos.

A természetes és a racionális számok számossága is azonos. Viszont például a valós számok és a természetes számok számossága eltérő. Nem lehet ilyen kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést csinálni. Bizonyítható, hogy akármilyen megfeleltetést is írunk fel, biztosan lesz olyan valós szám, aminek nem lesz megfelelője a természetes számok halmazában. Lásd: [link]

Ergo a valós számok számossága nagyobb, mint a természetes számok számossága. Pedig mindkettő végtelen.

Fura dolog ez, a józan ész határait feszegeti, igazán jól megérteni csak megszokás útján lehet. Előbb-utóbb érteni fogod, ha eleget gondolkodtál rajta.

Amúgy az ember két dolgot nem tud elképzelni:

A végest. Mert ha van valaminek vége, oda el lehet jutni. És mi van utána? Semmi? Mi az, hogy semmi nincs utána. Valaminek csak kell lennie utána is.

A végtelent: Mert mi az, hogy valaminek nincs vége? Mindennek van vége, amit úgy megszoktunk az életünkben.

A kérdésed első fele megmagyarázza, hogy miért nem érted a végtelnt. Te hétköznapi, szemléletes és szakmailag használhatatlan példákat hozol fel az "egyre nagyobb", "egyre bővebb", "egyre több" érzésének kifejezésére. De ezek csak hasonlatok, csak emberi szavak, amelyek egy érzetet fogalmaznak meg, nem tekinthetők szabatos fogalmaknak. Te mégis ezek alapján próbálsz meg a végelenről gondolkodni. Nem lehet. A végtelent az jellemzi, amivel definiáljuk: a végtelen nem egy szám, hanem egy határérték, amely arra utal, hogy valami minden határon túl nő, minden korlát felett van, minden véges mennyiségnél nagyobb. A végtelen nincs rajta a számegyenesen. Egy tendenciát jelöl, egy aszimptotikus viselkedést, nem egy konkrét pontot vagy elemet. Ebből kell kiindulni, nem az a+a=2a-ból.

Ráadásul a "végtelen" (szimplán csak így leírva) még mindig csak egy köznapi és pontatlan elnevezése valaminek, amiből szintén végtelen sok van. Ugyanis az egész számok megszámlálható végtelenje merőben más, mint a valós számok halmazának kontinuum végtelenje, vagy mint az ezek hatványhalmazának még nagyobb rendű kontinnuum végtelenje, stb. A sor tetszőleges számszor folytatható, és az egyre "nagyobb" hatványhalmazok számossága egyre "nagyobb" végteleneket ad. És ezeket már nem is lehet elképzelni egy számegyenes viszonylatában.