Határérték számítás? Miért + végtelenbe tart? lim x-> végtelen x/ ln (x+1)

Ha x->végtelen van a limesz alá írva, akkor x->végtelen és ln(x+1) is ->végtelen (nézd meg a grafikonját). végtelen/végtelen esetben a L'Hospital szabály alapján deriválhatod a hányadost és a nevezőt is, ugyanazt a határértéket kapod. x' = 1, ln(x+1) = 1/(x+1) * (x+1)'

1/(1/(x+1)) = x+1, lim(x->végtelen)[x+1] = végtelen

Az ln(x+1)-et a láncszabály szerint kell deriválni; a szabály szerint ez 1/(x+1)*(x+1)' (ahogyan azt az előttem szóló is írta), (x+1)'=1, tehát a függvényünkből 1/(1/(x+1)) lesz, ebből 1*(x+1)=x+1, ez pedig a végtelenhez tart.

Egyszerűbb talán L'Hopital-szabály nélkül; tudjuk, hogy x "nagyságrendileg" nagyobb, mint ln(x), az előjelük pozitív, tehát azt sejtjük, hogy a végtelenbe fog tartani. Vegyünk egy másik függvényt, mely bizonyos x-től minden x-re kisebb lesz, mint ez, és végtelenbe tart, legyen például az x/gyök(x+1) függvény, ekkor igaz-e, hogy

x/ln(x+1)>=x/gyök(x+1), vagyis

gyök(x+1)>=ln(x+1)

A könnyebb bizonyítás kedvéért a jobb oldalt cseréljük le log(2)[x+1]-re; ez x>1-re biztosan nagyobb, mint ln(x+1), és ha egy nagyobbra belátjuk, hogy gyök(x+1) annál is nagyobb, akkor az eredetinél is nagyobb lesz, tehát

gyök(x+1)>log(2)[x+1]

Ez x=15-re igaz lesz; 4>=4, a gyök(x+1) értéke minden négyzetszámra 1-gyel nő, log(2)[x+1] pedig a kettőhatványokra, négyzetszámok pedig sűrűbben vannak, mint kettőhatványok, tehát gyök(x+1) x>15 esetén végig nagyobb lesz, mint log(2)[x+1]. Tehát az x/gyök(x)=gyök(x) függvénnyel alulról tudtuk becsülni a függvényt, ez pedig a végtelenbe tart, tehát az eredeti is.

L'Hospital szabállyal persze könnyen bizonyítható, de az ilyesmit illik egyszerűbb módszerrel levezetni, ami akkor is használható, ha a kérdező esetleg még nem tanult deriválni.

A legelemibb úton is igazolható, hogy

lim(u→∞) 2^u/u = ∞

⇓

lim(u→∞) ℯ^u/u ∞

u helyébe ln(1+x) -t helyettesítve:

lim(u→∞) (1+x)/ln(1+x) = ∞

Ebből már triviálisan következik az eredeti állítás, hiszen

x/ln(1+x) = (1+x)/ln(1+x) - 1/ln(1+x)

egy „∞-0” típusú határérték.