Határozatlan integrálás? integrál dx / x^2 - 2x -3 Megoldása: 1/4 * ln abs (x-3) - (1/4) * ln abs (x+1) +c Kérdés: Honnan jön az 1/4 -es szorzó mindkét tag esetében?

Ha beszorzod az integrandust néggyel, és az integrált leosztod néggyel akkor az integrál értéke nem változik, viszont szét tudod bontani az integrandust:

1/(x-3) - 1/(x+1) alakra (ugye ekkor összevonva a két törtet 4/(x^2-2x-3)-at kapsz

innentől meg tagonként kiintegrálod, majd az eredeti szorzás miatt leosztasz 4-gyel

4 · 1/(x^2-2x-3) = 1/(x-3) - 1/(x+1)

ezért. Ez nem olyan típusú, ahol azonnal a nevező deriváltjával ügyeskedsz, mivel nem elsőfokú, illetve nincs a számlálóban x tényező.

Ez csak egy egyszerű résztörtekre bontás, onnantól meg egy azonosság használata.

Parciális törtekre bontás:

x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

1/(x^2-2x-3)=A/(x+1)+B/(x-3)=(A*(x-3)+B*(x+1))/((x+1)(x-3))

Nézzük a számlálót: A*(x-3)+B*(x+1)=Ax-3A+Bx+B=(A+B)x-3A+B.

Mivel a számlálónak 1-el kell egyenlőnek lennie: A+B=0, -3A+B=1. Ebből: A=-1/4, B=1/4.

Tehát: 1/(x^2-2x-3)=-1/(4(x+1))+1/(4(x-3))