Autonóm differenciálegyenletek fázisképe. Stabil, instabil?

Lehet, hogy van egyszerűbb módszer is, de én beírnám a jobb oldalra az egyensúlyi ponttól egy végtelenül kis távolságra lévő pontot, és megnézném, milyen az előjel.

Pl: -2 esetén megvizsgálnám a jobb oldalt az x=-2+dx pontban:

x'(t) = (-2+dx-1)(-2+dx+2)(-2+dx+5) = (-3+dx)dx(3+dx) = -9dx-3dx^2+3dx^3

Ebből csak a legalacsonyabb dx hatványt kell figyelembe venni, mivel dx tart a nullához, tehát a magasabb rendű tagok elhanyagolhatókká válnak:

x'(t) = -9dx

Ez azt jelenti, hogy ha pl. dx pozitív, tehát az egyensúlyi ponttól eltávolodunk a pozitív irányba, akkor az x' negatív lesz, azaz a negatív irányba mozdítja x-et (vissza az egyensúlyi helyzet felé). Ha a negatív irányba távolodunk el (dx negatív), akkor x' pozitív lesz, azaz megint az egyensúlyi pont felé mozdítja x-et. Tehát ez a centrum vonzó (stabil).

A másik kettőre pedig kijön, hogy x'(t) előjele megegyezik dx előjelével, ami az ellenkezőjét jelenti: azok a pontok taszítanak, instabilak.

Akkor ezek szerint az előzőt nem értetted. Mindegy, mondok egy másik módszert (tételnek is tekinthető):

Lederiválod a jobb oldalt, behelyettesíted a zérushelyeket, és ha az eredmény pozitív, akkor taszító, ha negatív, akkor vonzó. Itt most:

f(x) = x^2-1

f'(x) = 2x

f'(1) = 2, 2>0: Taszító

f'(-1) = -2, -2<0: Vonzó