Valaki segít ebben a szöveges matek feladatban?

ennyi ember van: n

egy ember ennyivel fog kezet: n-1

az összes kézfogás: n*(n-1)

viszont minden kézfogást így kétszer számoltunk, ezért:

496=n*(n-1)/2

Két megoldása lesz, -31 és 32.

Csak az egyik értelmes.

Érdemes végiggondolni, hogy adott esetben hány kézfogás születhet;

2;3;4 ember esetén még nem nehéz megszámolni (2, 3 és 6 kézfogás).

5 ember esetén nézzük meg, hogy mi a helyzet; Ha te lennél az egyik ember, akkor tudnád, hogy 4 emberrel kell kezet fognod. Ha egy másik ember lennél, akkor szintén 4-gyel, és így tovább. Ha ezekkel számolunk, akkor 4+4+4+4+4=5*4=20 kézfogást tudunk megszámolni. Viszont, ha te pl. Pistával kezet fogtál, akkor az nálad is meg lett egyszer számolva és Pistánál is, és ugyanez igaz az összes kézfogásra, tehát mindegyik 2-szer lett számolva, tehát az a 20 valójában csak a fele; 10 kézfogás történt meg.

Ha ezt tudjuk, akkor innen már próbálgatással is meg lehet oldani; tegyük fel, hogy 20-an voltak, akkor mindenki 19 másikkal fogott kezet, ezzel 20*19=380 kézfogást számoltunk meg, de mindegyiket kétszer, ezért csak 190 kézfogás történt. Ez kevés. Nézzünk nagyobb számot;

Ha 30-an voltak, akkor 30*29/2=435 kézfogás történt. Ez még mindig kevés, de közeledünk.

A megoldást 32-re kapjuk; 32 ember esetén 32*31/2=496 kézfogás született, tehát 32-en voltak.

Egyenlettel úgy tudjuk megoldani, hogy általánosítunk;

Tegyük fel, hogy n darab ember volt az osztályban, ekkor mindenki n-1 másikkal fog kezet, ezzel n*(n-1) kézfogást számoltunk meg, de a fentiekben tárgyaltak miatt ezt osztjuk 2-vel; n*(n-1)/2 kézfogás számolható meg. Ennek a feladat szerint 496-nak kell lenni, tehát:

n*(n-1)/2=496 /*2

n*(n-1)=992

Ha nem tanultátok még a másodfokú egyenlet megoldását, akkor gondolati módszerrel is meg lehet oldani; írjuk fel a 992 szorzatpárjait:

1*992

2*496

4*248

8*124

16*62

31*32

Több nincs. Ezek közül ki kell választanunk azt a szorzatot, ahol a tényezők különbsége 1. Ez az utolsónál lesz így; ha n=32, akkor n-1=31, ezek szorzata 992, ez lesz a megoldás (ennek lenne még egy megoldása, n=-31, de mi most csak a pozitív egész megoldásokkal foglalkozunk).

Tehát 32-en voltak az osztályban.

Egy másik megoldási mód, hogy megbecsüljük n értékét (ez a módszer több szorzótényező esetén használható a legkönnyebben); ha felülről becsüljük, akkor n*n-t kapunk, ekkor viszont biztos, hogy a szorzat nagyobb lesz 992-nél, ezért

n^2>992, erre n>~31,496.

Ha alulról becsüljük, akkor (n-1)^2-et kapjuk, ez viszont biztos, hogy kisebb lesz 992-nél:

(n-1)^2<992, erre n-1<31,496, vagyis n<32,496

A két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie, tehát

31,496<n<32,496, ez csak n=32 esetén lesz igaz. De, mint mondtam, ez a több szorzótényezőből álló szorzat esetén használható praktikusan.

Ha kérdésed lenne még, tedd fel bátran!