Van-e olyan 4 db egymást követő Fibonacci-szám, hogy közülük 3 db ugyanarra a 10 számjegyre végződik?

A Fibbonacci-számok utolsó számjegyei ciklikusan változnak:

1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0 ; és innen kezdődik egy új ciklus. Tehát a 1. Fibonacci-szám ugyanarra végződik, mint a 61., 121., 181., 241., stb…

Mivel nincs három egymás utáni szám, aminek az utolsó számjegye egyezne, ezért nincs olyan sem, aminek az utolsó 10 számjegye egyezne.

Ha nem klasszikus Fibonacci-sorról van szó, hanem bármilyen két kezdőértéket megengedünk, de a képzési szabály ugyanaz, akkor könnyen belátható, hogy csak akkor lehetne három egymás utáni számjegy azonos, ha azok nullák. Ha három egymás utáni szám utolsó számjegyeit nézzük, és azok azonosak, akkor:

a + 10*n = a + a , ahol n egész szám

a = 10*n

Mivel n egész, így a csak nulla lehet.

Innen tovább lehet gondolni, három egymás utáni Fibonacci-szám akkor lehet csak az utolsó 10 számjegyében azonos, ha ez az utolsó 10 számjegy 0 000 000 000. Ekkor viszont a negyedik, és minden további szám is erre fog végződni.

Legyen a k-adik Fibonacci szám A, a k+1-edik pedig B.

A rákövetkező kettő A+B és A+2B lesznek.

A, B, A+B, A+2B közül ha B 10 darab 0-ra végződik, akkor A, A+B és A+2B is ugyanarra a 10 számjegyre végződik.

Olyan Fibonacci szám pedig van, ami 10 darab nullára végződik, mert a Fibonacci számok ciklikusak modulo bármi, magyarul pl. az utolsó 10 számjegyük is ciklikus (modulo 10^10). Mivel F₀ = 0, ezért egy ciklussal odébb megint nullákra végződik a szám.

Egyébként 10^10-hez a periódus hossza 15·10^9, vagyis az annyiadik Fibonacci szám lesz a B a fenti 4 szám közül.

Amit zárójelben írtál, hogy "és a negyedik is csak 1 számjegyben tér el", az is teljesül, mert a 0, 1, 1-gyel indul a Fibonacci sorozat, ezért egy ciklussal odébb, amikor B 10 darab 0-ra végződik, akkor a következő két szám 9 nullára és egy 1-re végződik, és A is ilyen kell legyen.