Milyen összefüggések vannak a matematika absztraktsága és a valódi dolgok között?

"Hogy lehet egy egység oldalú négyzet átlója irracionális, amikor valóságban nem létezhet(?) irracionális távolság?"

Csak ezt a példát emelném ki.

Ez így nem igaz. A valóságban nem léteznek diszkrét, digitális méretek (hacsak le nem megyünk kvantumszintre). Maga a méret-megadás már egy digitális absztrakció. Az az, ami valójában nem létezik. Maga az irracionális szám egy olyan absztrakt fogalom, ami olyan méretet takar, ami nem írható fel két egész szám (ami szintén absztrakció) hányadosaként.

A valóságban analóg méretek léteznek, vagyis szinte analóg, mert kvantumszintig bontható pontossággal határozhatóak meg.

Mondjuk, legyen az egységünk a Planck-méret, mint digitális egység, ami már magában foglalja anyagi világunk minden lehetséges méretfelbontását. Ennél kisebb felbontás nem létezik.

Legyen egy x darab Planck-hossz oldalhosszúságú négyzeted, annak az átlója nem lesz egész dara b Planck-hosszban kifejezhető. Ettől még létezik. Csak már határozatlan két egzakt érték közt.

És ez a maximális pontosságú meghatározásod, ami az anyagi világban lehetséges.

De matematikai absztrakcióban felírhatod, hogy x*gyökkettő*Planck hossz az átló. Egy irracionális, x*gyökkettő darabszám. Csakhogy ez már elvonatkoztatás.

Viszont absztrakciójában pontos érték.

Az anyagi világban ez már értelmetlen, mert olyan méretről (töredék Planck-hossz) beszél, ami nem létezik.

Az absztrakció és a valóság közt pontosan akkora a szakadék, amekkorát az absztrahálás formájában te magad meghatározol.

Ha a valóságra alapuló absztrakcióval dolgozol a matematikában, akkor a kívánt pontosságban a valóságra is releváns eredményt kapsz.

De ha mondjuk a naprendszeri égitest-pályákba a gravitációt kicseréled negatív értékre, azzal is kapsz valami eredményt, csak az már nem releváns a valósággal.

Nincsen semmiféle fal, nagy különbség a matematika és a valóság közt. Csak ha az absztrakciód rossz.

Kérdező!

Nézz utána Platoni álláspontnak a matekkal kapcsolatban, az harmonizál majd azzal amiket írtál, de vannak más elképzelések is.

Az egységoldalú négyzet átlója hosszának irracionális volta tulajdonképpen reprezentációs probléma. Az irracionális számok kétségkívül léteznek és jól definiáltak a matematikában. Az, hogy az ábrázolásukhoz minden számrendszerben végtelen sok számjegy kellene, összeütközésben van azzal, hogy a fizikai valóságban végelenek nem léteznek. Vagyis ha tényleg le akarnánk írni egy irracionális számot egy papírra vagy egy számítógép memóriájában elraktározni, nem tudnánk megtenni. De emiatt azért nem esünk kétségbe, mert a valóság működik végtelen nagy pontosság nélkül is. Egyrészt már Wadmalac is kifejtette, hogy ha másért nem, a kvantummechanika miatt egyébként sem léteznek teljesen analóg, végtelenül pontos mennyiségek, de egyébként sincs szükségünk semminek a végtelenül pontos ismeretére ahhoz, hogy egy házat, autót, hidat, öltönyt, stb. meg tudjunk tervezni és létre tudjunk hozni. A matemtika tehát sokkal többet tud megjeleníteni és kezelni, mint amennyire nekünk szükségünk van, másrészt meg a matematika képes bizonyos formában a végtelen mennyiségeket is értelmezni és kezelni, amire a valóságban csak ritkán van szükség (maximum közelítéseknél).

Amúgy pedig a kérdés egy elég mély tényen alapul, amely lényegében arról szól, hogy miért van az, hogy a világ leírható matematikával. (Ha nem lenne leírható, akkor ez a kérdés nyilván fel sem merülne.) Erre nem tudunk magyarázatot adni. Ilyen a világ, és kész. Szerencsére. Ugyanis a matematika egyetemes nyelv, és ha létezik rajtunk kívül értelmes civilizáció bárhol máshol, akkor nekik is kell legyen matematikájuk, ők is ismerik a pi-t és a trigonomtriát, a sorozatokat, feltehetőleg ők is tudnak deriválni és integrálni, és talán a fizikai világ csoportelméleti összefüggéseit is értik.

Ami a matek és a valóság szűkebb értelemben vett kapcsolatát illeti, nem szabad elfelejteni, hogy a matematikának a valóságra történő alkalmazásakor a matematika mindig csak egy eszköz, amely valamilyen modellen keresztül jut kifejezésre. Egy légkörszimuláció lehet állatira elnagyolt vagy lehet meglehetősen pontos is bizonyos keretek között. Mindkettőhöz matematika kell, az utóbbihoz nyilván absztraktabb és összetettebb fogalmak, mivel részletesebben veszi figyelembe a valódi folyamatokat. Ilyen értelemben tehát nem közvetlenül van kapcsolat a matematika és a valóság között, hanem mindig egy adott modellen keresztül, amit a valóságra vonatkoztatsz és azzal összehasonlítod. Persze amikor csak egyszerű, alapvető mennyiségek méréséről van szó, mint hoszúság vagy idő, akkor egyszerűen csak két hosszúságot illetve időtartamot hasonlítunk össze egymással, amelyek közül az egyiket etalonnak (mértékegységnek) fogadjuk el, és ahhoz képest mérjük a másikat. Ilyenkor a modell puszta összehasonlításon alapul, nem kellenek hozzá pl. differenciálegyenletek.

De még ekkor is lehet azt mondani, hogy a dolog nem olyan egyszerű. Gondoljunk csak arra, hogy a méternek és a másodpercnek a definíciója is változott az idők során, illetve éppen a távolságról és időről, mint fizikai mennyiségekről derült ki a relativitáselméletben, hogy mennyire másképp viselkednek, mint ahogy azt annak előtte gondolták, és hogy a korábban ekvivalensnek tartott mérési eljárások teljesen més eredményre vezetnek. És éppen ez kényszerített minket arra, hogy újragondoljuk minden fizikai mennyiség mérésének és egymásra vonatkoztatásának módját.

Tehát összegzésképpen a matematika eszközök bőséges tárháza, amelyek közül messze nincs mindenre szükség ahhoz, hogy a valóságot le tudjuk írni, azonban meglepően sok része bizonyul hasznosnak ehhez. De hogy mely része és mennyire hasznosnak, az függ attól a keretrendszertől (modelltől), amelyet alapul veszünk és amelyhez a matematikát segítségül hívjuk.

Hogy mennyire csak absztrakción és definíciókon múlik a dolog, és hogy mennyire nem misztikum ez az irracionális szám, vehetem én a négyzet átlóját egész számnak, akkor az oldalaira fog irracionális szám adódni. Felcserélhető, tehát a létezése nagyon nem múlik azon, hogy irracionális szám.

A fizikai mértékegységeknél, számításoknál is rá lehet néha csodálkozni, hogy jé, milyen kerek számok adódnak erre-arra, milyen szép és viszonylag egyszerű képletekkel le lehet írni pontosan minden fizikai folyamatot.

Az, hogy maguk a fizikai világ tulajdonságai ilyen korrektül leírhatóak összeadások, kivonások, hatványozások kupacaiban, az valóban érdekes. De hogy ez "mázli", vagy éppen ezen világ anyagi részei lévén mi építünk fel magunknak elkerülhetetlenül olyan aritmetikai logikát, ami ezen világ tulajdonságaihoz így passzol, az talán örök kérdés marad.

Talán egy másik univerzumban, egy másik ősrobbanás után egy olyan világ jött, jöhetne létre, ahol pl. a 2+2=5, az erőtér-tenzorokban ötödik hatvány lenne és ott ehhez passzoló matematikai logika, fizikai relációk lennének ugyanilyen helyesek és kerekek, mint a mieink nekünk.