Feladat megoldása? (Bővebben lent)

Kiemelünk m^2-et: m^6-m^2=m^2*(m^4-1), a szorzat második tagjára tudjuk alkalmazni az (a+b)(a-b)=a^2-b^2 képletet; a=m^2, b=1: =m^2*(m^2+1)*(m^2-1). Látható, hogy ez a szorzat 3 egymást követő (egész) számból áll, így a tényezők közül biztosan osztható lesz valamelyik 3-mal. Az is biztos, hogy 2-vel is osztható lesz valamelyik (ugyancsak azért, mert 3 egymást követő egész számról van szó, persze 2 is elég lenne belőlük).

Mivel a 6-tal oszthatóságnak szükségessége, hogy a szám osztható legyen 2-vel és 3-mal IS, amit sikeresen be is láttuk, ezért az ilyen alakú számok biztosan oszthatóak lesznek 6-tal.

m²(m^4-1) akkor es csak akkor oszthato hattal, ha paros es oszthato harommal.

Az m² es az m^4-1 kozul az egyik paros, a masik paratlan. Miert? mert ha m² paros akkor m²*m² is az, ha pedig paratlan akkor szinten paratlan.

Belattuk tehat a kettovel valo oszthatosagot, mivel egy paratlan szam es egy parosz szam szorzata paros.

Harommal oszthatosaghoz pedig az egyikojuknek oszthatonak kell lennie harommal.

ha m² nem oszthato harommal, akkor a maradeka 1 lesz, mivel ha m oszhato harommal akkor m² is, ha pedig m maradeka 3-mal osztva 1, akkor m²-e is, ha ketto, m²-e akkor is 1 lesz, mivel 2+2=4 aminek a maradeka 1.

ugye ha m²|3 akkor keszen vagyunk, ha nem, akkor a maradeka egy, igy az m^4 maradeka is egy, viszont epp levontunk belole egyet, tehat akkor az m^4-1 lesz oszthato 3-mal.

QED