P (3;6) e, x+2y= 4 Mennyi a pont és egyenes távolsága? Levezetéssel!

Írjuk fel a P középpontú, r sugarú kör egyenletét:

I. (x-3)^2+(x-6)^2=r^2

Ehhez hozzájön az egyenes egyenlete:

II. x+2y=4.

A II. egyenletből fejezzük ki x-et (az egyszerűbb): x=4-4y, ezt írjuk be x helyére I.-ben:

(4-2y-3)^2+(y-6)^2=r^2 /összevonás

(1-2y)^2+(y-6)^2=r^2 /zárójelbontás

1-4y+4y^2+y^2-12y+36=r^2 /összevonás; 0-ra redukálás

5y^2-16y+37-r^2=0

Az a kérdés, hogy ennek a másodfokú parametrikus egyenletnek (ahol r a paraméter) mikor lesz pontosan 1 megoldása; ehhez fel kell írnunk a diszkriminánst:

(-16)^2-4*5*(37-r^2)=0 /zárójelbontás

256-740+20r^2=0 /összevonás

-484+r^2=0 /+484

r^2=484 /gyökvonás; r>=0

r=22, tehát az egyenes és a pont távolsága 22 egység.

Én ezt a megoldást kedvelem:

[link]

Így jobban látom, ha valamit elszámolok.

#4 vagyok.

Az előző linkről néhány dolog lemaradt. Itt a javítás:

[link]

#2-ben az utolsó előtti egyenlőségben van egy elírás (20 helyett 1), a módszer különben jó.

Harmadik változat:

x=4-2y

(d(P,e))^2=(x-3)^2+(y-6)^2=(4-2y-3)^2+(y-6)^2=(-2y+1)^2+(y-6)^2=4y^2-4y+1+y^2-12y+36=5y^2-16y+37=f(y)

f minimum helyét keressük, ez ott lesz, ahol f'(y)=0 (ez mindenképp minimum, mert a másodfokú tag együtthatója pozitív)

f'(y)=10y-16=0

y=1,6 és (f(1,6))^(1/2)~5,47~4,92