Hanyas alapú logaritmus x érinti az y=x egyenest?

Én így csinálnám:

- paraméteresen felírom a p alapú logaritmus fgv. deriváltfüggvényét

- megkeresem, hogy melyik pontbeli érintő meredeksége 1

- felírom ebben a pontban az érintő egyenletét

- ezután "igazzá teszem" az origón áthaladásra, és ez lesz az egyenlet a p-re

y=logp(x)

ennek deriváltja:

y'=1/(x*lnp)

ez akkor lesz 1, ha x=1/lnp

ez az első koordinátája annak a pontnak, amelyben az érintő meredeksége 1

a második koordinátához be kell helyettesíteni az eredeti képletbe:

y=logp(x)=ln(x)/ln(p)=ln(1/lnp)/ln(p)=-ln(ln(p))/ln(p)

most az érintő egyenlete:

y=x-1/ln(p)-ln(ln(p))/ln(p)

ennek az origón kell áthaladni, azaz (0;0)-t behelyettesítve igaznak kell lenni, ezért:

-1/ln(p)=ln(ln(p))/ln(p)

-1=ln(ln(p)

e^(-1)=ln(p), azaz ln(p)=1/e

ebből pedig p=e^(1/e)

ez pedig épp az általad említett szám