Határozzuk meg az a és b számjegyeket, ha tudjuk, hogy az aabb, aba, ab és a számok számtani közepe 628! (különböző betűk különböző számjegyeket jelentenek)?

a = 2

b = 4

A számok tehát:

2.244, 242, 24, 2

Biztos van valami trükk vagy képlet, amivel ki lehet számolni, de én simán csak logikáztam:

Mivel a négy szám számtani közepe 628, ezért tudjuk, hogy az összegük 4 * 628 = 2512.

Írásbeli összeadással (azaz egymás alá) felírva a számokat a tízezres helyiértéken álló a-ból és a 2-ből evidens, hogy a = 2; az ezres helyiértéken álló a + a ugyanis 5, tehát nem ad maradékot (ellenben kap).

Az egyesek helyén álló 2 db a helyére behelyettesítve a 2-t már kiszámolható, hogy b = 4.

Természetesen az ellenőrzés is megvolt. :)

Az ilyen (Diophantoszi) egyenleteknél az a veszély, hogy a kitalálton kívül más megoldás is van. Itt most nincs, csak amit az első válaszoló ügyesen megtalált:

[link]

aabb = a*1000 + a*100 + b*10 + b = 1100a + 11b

aba = a*100 + b*10 + a = 101a + 10b

ab = a*10 + b = 10a + b

a = a

És ugye azt is tudjuk, hogy a és b egész számok, a 1 és 9 között van, b 0 és 9 között.

A számtani közép ugye a számok összeadva, és osztva a darabszámmal.

(aabb + aba + ab + a)/4 = 628

aabb + aba + ab + a = 4*628 = 2512

1100a + 11b + 101a + 10b + 10a + b + a = 2512

1212a + 22b = 2512

Ha a>=3, akkor a 1212a értéke 3636-ra jönne ki, így b-nek negatívnak kellene lennie.

Nézzük meg tehát mi van, ha:

a=1

1212*1 + 22b = 2512

22b = 1300

b = 59,0909…

Ez nem felel meg a kirtériumoknak.

a=2 esetén

1212*2 + 22b = 2512

22b = 88

b = 4

Ez megfelel.

Tehát a=2 és b=4

Ellenőrzés:

A négy szám 2244, 242, 24 és 2. Ezek számtani közepe:

(2244+242+24+2)/4 = 2512/4 = 628