Adott egy 0/0 típusú határérték: lim (x->4) (16x^2-x^4) / (4x^3-16x^2) Hogyan kell átalakítani ahhoz, hogy kiszámoljam a határértékét?

(4x+x^2)*(4x-x^2)/(4x(x^2-4x)), -1et kiemelve nevezőből

-(4x+x^2)*(4x-x^2)/(4x(4x-x^2)), egyszerűsítve

-(4x+x^2)/4x, aminek a határértéke x=4 helyettesítéssel -2.

Végezz a kifejezésen olyan átalakításokat, amik elkerülik a nullával való osztást, ilyen módon lehet egyszerűsíteni olyan alakra, ahol nem 0/0, vagy más nem triviális alak lesz az eredmény.

Jelen esetben:

(16x^2 - x^4) / (4x^3 - 16x^2)

x^2 (16 - x^2) / 4x^2 (x - 4)

(x^2/4x^2) * (16 - x^2) / (4x - 16)

1/4 * (16 - x^2) / (x - 4)

(Itt a törtet nyugodtan lehet (x+4)/(x+4)-el szorozni, hiszen ez 8/8-at, azaz 1-et jelent.)

1/4 * [(16 - x^2) * (x + 4)] / [(x - 4) * (x + 4)]

1/4 * [(16 - x^2) * (x + 4)] / (x^2 - 16)

1/4 * [-(x^2 - 16) * (x + 4)] / (x^2 - 16)

1/4 * [-(x^2 - 16)/(x^2 - 16)] * (x+4)

1/4 * -1 * (x+4)

-1/4 * (x+4)

-(x/4 + 1)

lim_(x->4) (16x^2 - x^4) / (4x^3 - 16x^2) = lim_(x->4) -(x/4 + 1) = -2

Vagy L'Hospital szabály szerint lederviálhatod külön a számlálót és külön a nevezőt, szerintem úgy egyszerűbb:

lim (x->4) (16x^2-x^4)'/(4x^3-16x^2)'

lim x(x->4) (32x-4x^3)/(12x^2-32x) --> -128/64 --> -2