Hogy kell igazolni a Weierstrass tételt?

Szia! Nem tudom, miért nem szimpi neked ami a wikin van, de leírom mi hogy csináltuk:

Tétel:

f [a,b]-n értelmezett folytonos függvénye, ekkor

1. f értékkészlete korlátos: létezik k és K, hogy minden x-re [a,b]-n igaz, hogy k<=f(x)<=K

2. f felveszi szélsőértékeit:

M=sup{f(x)|a<=x<=b}, m=inf{ugyanez}

létezik x1, x2 [a,b]-n: f(x1)=M, f(x2)=m

Bizonyítás:

1. Indirekt: tegyük fel, hogy f(x)-re nincs felső korlát, (x [a,b]-n). Ekkor létezik [a,b]-n Xn sorozat, amire Xn>=n minden elemre. Ennek azonban a Bolzano-Weierstrass tétel szerint létezik konvergens résszsorozata: Xnk->X0. Ekkor f(Xnk)->f(x0), viszont a feltétel szerint f(Xnk)-ra nincs felső korlát.

2. Maximumra: (minimumra ugyanígy): 1. szerint M=sup{f(x)|a<=x<=b} létezik és véges. M-1/n már nem felső korlátja az értékkészletnek, így vehetünk egy olyan sorozatot, melyre f(Xn)>=M-1/n a sorozat minden tagjára. Ez egy korlátos sorozat, így ismét alkalmazhatjuk a Bolzano-Weierstrass tételt, azaz létezik konvergens résszsorozata: Xnk->X0, így f(Xnk)->f(x0), viszont a sorozat feltétele szerint így f(x0)>=M. Mivel azonban M az értékkészlet maximuma, f(x0)<=M. Így f(x0)=M.