Hányszorosa az ATB és BCT háromszög beírt körei középpontjának a távolsága az ABC háromszög beírt köre sugarának?

Segítség a feladat megoldásához:

Vegyél fel egy tetsz. ABC derékszögű háromszöget ahol a két befogó a,b átfogó c. beírt kör sugara r, középpontja O. Legyenek D,E,F pontok az ABC-ben az a,b,c oldalon levő érintési pontok. Ekkor az ODEC négyszög négyzet mivel mind a négy szöge derékszög, szemközti oldalai párhuzamosak. Ekkor CE és CD szakasz hossza is r, így DA szakasz hossza a-r, EB szakasz hossza b-r. Ismert hogy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egy adott körhöz egyenlőek, tehát BF szakasz hossza b-r míg AF szakasz hossza a-r. Tudjuk, hogy BF+AF=C tehát b-r+a-r=c innen átrendezéssel kapjuk, hogy r=(a+b-c)/2 ezt az összefüggést kell háromszor felhasználnod a konkrét feladatodban és kész.

Nagyon szép kis feladat ez! Szeretem a derékszögű háromszögeket. :-)

Egy derékszögű háromszöget az átfogóhoz tartozó magasság két kisebb derékszögű háromszögre osztja. A feladat a két kis háromszög beírt körének középpontjai távolságának és a nagy háromszög beírt köre sugarának a hányadosa.

A kérdés megválaszolásához szükség lenne a

r1 = f(Befogó;R)

r2 = f(Befogó;R)

függvényekre

Legyen

H - a nagy háromszög

A, B, C - a nagy háromszög csúcsai

a, b, c - a nagy háromszög oldalai (az A csúccsal szemben van az 'a' oldal)

m - a nagy háromszög átfogóhoz tartozó magassága

T - ennek a magasságnak a talppontja

R - a nagy háromszög beírt körének sugara

c1 - a magasság által felosztott átfogó hosszabbik darabja

c2 - a rövidebb darabja

H1, H2 - a két kis háromszög

d - a kis háromszögek beírt körei középpontjának távolsága

k = d/R - a kérdésre adandó válasz hányadosa

A H háromszög adatai

Átfogó: c oldal

Rövidebb befogó: a

Hosszabbik befogó: b

Beírt kör sugara: R

A H1 háromszög adatai

Átfogó: b oldal

Rövidebb befogó: m

Hosszabbik befogó: c1

Beírt kör sugara: r1

A H2 háromszög adatai

Átfogó: a oldal

Rövidebb befogó: c2

Hosszabbik befogó: m

Beírt kör sugara: r2

Célszerű felrajzolni az ábrát, hogy követni lehessen a levezetést

A két kis háromszög beírt körének középpontját berajzolva a távolságuk a következőképp számítható:

d² = (r1 + r2)² + (r1 - r2)²

Zárójelek felbontása, összevonás után

(A) d² = 2(r1² + r2²)

A megoldáshoz szükség van a két sugárra, amihez két összefüggést kell ismerni.

Bármely derékszögű háromszögre érvényes

c = a + b + 2R

ill

(1) 2R = a + b - c

az előző válaszoló leírta, hogyan adódik ez az összefüggés,

és a

(2) m = ab/c

ami onnan adódik, hogy a háromszög területét kétféleképp felírva

T = a*b/2 = c*m/2

a*b/2 = c*m/2

egyszerűsítés után az 'm'-et kifejezve adódik a (2) összefüggés, ami azt mondja, hogy a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága = a két befogó szorzata/az átfogó.

Lássuk az

r1 = f(Befogó;R)

r2 = f(Befogó;R)

összefüggéseket

Az (1) és (2) összefüggéseken kívül még fel kell használni, hogy H, H1, H2 hasonló háromszögek.

H1 háromszög

az (1) képlet szerint

2*r1 = c1 + m - b

a hasonló háromszögek miatt

a/b = m/c1

ebből c1 = b*m/a

visszahelyettesítve

2*r1 = b*m/a + m - b / *a

Mindkét oldalt 'a'-val szorozva

2*a*r1 = b*m + a*m - a*b

2*a*r1 = m(a + b) - a*b

a (2) összefüggést behelyettesítve

2*a*r1 = (ab/c)(a + b) - a*b /*c

2*a*c*r1 = a*b(a + b) - a*b*c

a*b- t kiemelve

2*a*c*r1 = a*b(a + b - c)

az (1) összefüggésből a + b - c = 2R

így

2*a*c*r1 = a*b*2*R / ÷2*a

c*r1 = b*R

és

r1 = b*R/c

így megvan az

r1 = f(Befogó;R) függvény.

--------------------------------------

H2 háromszög esetén

2*r2 = c2 + m - a

a/b = c2/m

Ezután az r1 mintájára levezetve adódik, hogy

r2 = a*R/c

az

r2 = f(Befogó;R) függvény.

Most már jöhet a középpontok távolsága, a (A) összefüggés

d² = 2(r1² + r2²)

d² = 2[(b²*R²/c²) + (a²*R²/c²)]

kiemelés után

d² = (2*R²/c²)(b² + a²)

lévén

b² + a² = c²

ezért

d² = (2*R²/c²)*c²

egyszerűsítve

d² = 2*R²

d = R√2

======

a H1, H2 háromszögek beírt körei középpontjának távolsága.

Innen már egyszerűen adódik a a feladat kérdésére adandó válasz

k = d/R

k = R√2/R

k = √2

======

Ha valami nem világos, jöhetnek a kérdések. :-)

DeeDee

**********

Bocs, egy elírás:

"Bármely derékszögű háromszögre érvényes

c = a + b + 2R "

Helyesen

c = a + b - 2R

DeeDee

*******

Örülök, hogy segíthettem.

DeeDee

*********