Hogyan jön ki, hogy a 2x+9y-14=0 egyenesnek a Hesse-féle normálalakja 2x/√85 + 9y/√85 - 14/√85 =0?

A Hesse-féle normálalakban gyakorlatilag az látható, hogy az egyenes egy olyan normálvektorával (illetve az irányvektora is kiolvasható, arra is igaz lesz) van felírva, amelynek hossza egységnyi.

Ha a 2x+9y-14=0, avagy a 2x+9y=14 egyenletet vizsgáljuk, akkor kiolvasható, hogy az egyenes egy normálvektora n(2;9), ennek hossza a tanultak alapján √(2^2+9^2)=√(85).

Ha ezzel az értékkel elosztjuk az egyenletet, akkor a kapott egyenletből egy olyan normálvektor olvasható ki, amelynek hossza egységnyi.

Általában is igaz, hogy ha egy vektort elosztunk a hosszával, akkor annak hossza egységnyi lesz, ezt hívjuk normálásnak (aminek nincs köze a normálvektorhoz, mivel előző esetben a hosszára vonatkozik a "norma" szó, míg a másik esetben azt jelenti, hogy merőleges az egyenesre). Ott pedig megtanultuk, hogy ha skalárral szorzunk (osztunk), akkor a vektor koordinátáját külön-külön szorozzuk (osztjuk) a számmal. Ezért (is) működik az, hogy az egyenletnél is oszthatunk.

n(r-r0)=0

Kiegészíteném a választ, ha nem baj.

A Hesse (nullára rendezett) alak lényegében választ ad arra, hogy egy pont milyen távolsagra van az egyenestől (2Dben), síktól (3Dben), n-1 dimenziós hipersíktól(nDben).

Tehát ha n normája/hossza 1. Akkor (r-r0)-lal való skalárszorzata az (r-r0) n irányú vetülete. Az egyeneses(/sík/..) pontjai pedig azok a pontok ahol a vetület =0.

PÉLDA: egy 2d sík esetén:

n=(3,4,5)-re merőleges, |n|=√(50)

r0=(2,1,-1) ponton áthaladó sik:

n(r-r0)= nr + nr0 =0

3x + 4y + 5z + 5 =0 /√(50) => sík Hesse alakja

(-5,2,4) pont távolsága a síktól a sík egyenletébe írva:

(3(-5) + 4(2) + 5(4) + 5)/√(50) = 18/√(50)