Mennyire vannak egymásba ágyazva a racionális és irracionális számok?

Bizonyított tétel, hogy az irracionális számok "végtelensége" nagyobb, de szerintem ezt te is pontosan tudod.

Azt is könnyű bizonyítani, hogy bármely két különböző irracionális szám között végtelen sok racionális van;

Tekintsük az [a;b] intervallumot, ahol a;b irracionális számok és a<b. Ha b-a >= 1, akkor az intervallum biztosan tartalmaz egy egész számot, ami racionális, innen pedig nem nehéz belátni, hogy ha 1 van, akkor végtelen sok van.

Ha 0<b-a<1, akkor bővítsük ki az intervallumot úgy, hogy az intervallum számait megszorozzuk egy c pozitív racionális konstanssal, nyilvánvaló okokból a két intervallum elemei között így kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés van.

A c szám alkalmas szorzó, hogyha b*c-a*c = 1, rendezés után c = 1/(b-a), tehát ez a szorzó bármilyen irracionális a;b esetén létezik. Ez azt jelenti, hogy az alkalmas c megléte miatt az [a*c;b*c] intervallum tartalmaz egy egész számot, aminek pontos értékét is meg tudjuk adni; alsóegészrész(a*c)+1.

Ha most visszaosztjuk a kapott intervallum elemeit c-vel, akkor az [a;b] intervallum az (alsóegészrész(a*c)+1)/c racionális számot fogja tartalmazni.

Ugyanezt a gondolatmenetet végigvíve végtelen sok racionális számot tudunk találni a és b között.

A számegyenes nem atomokból épül fel, úgyhogy végtelenül osztható. A következőket tudhatjuk:

* Bármely két racionális szám között van racionális és irracionális szám is.

* Bármely két irracionális szám között van racionális és irracionális szám is.

* Megszámlálhatóan végtelen racionális szám van.

* Megszámlálhatatlanul végtelen irracionális szám van.

A 4-es vagyok.

A számegyenes nem atomokból épül fel, úgyhogy végtelenül osztható. Ez azt jelenti, hogy nincsenek egymást váltakozva követő racionális és irracionális számok. Bármely szakasznál van rövidebb a számegyenesen, és bármelyiken megszámlálhatatlanul végtelen valós szám van.

Na, Kartoffel, több évnyi gondolkodás és kiírt kérdések százai után itt az ideje, hogy megismerkedj a sűrű részhalmazok és a topológiai sűrűség fogalmával.

Ez így nem mehet tovább, hogy harminc felé közeledve is azon töprengsz, hogy vajon esik-e racionális szám bármely két irracionális közé... Valahol persze dícséretes, hogy nem szégyelled megkérdezni, de a hosszú távú cél mégiscsak az lenne, hogy ne ilyen gyermeteg gondolatokkal kelljen birkóznod életed végéig.

Kicsit kizoomolva: némi utánaolvasás és további erős merengés után azzal kell majd szembenézned, hogy R számossága kontinuum, de a topológiai sűrűsége csak alef-0. Bízom benne, hogy ez a tény számodra egyfajta megnyugvást, és nem az eddiginél is gyötrelmesebb fejfájást okoz majd.