Miért lehet tetszőleges irracionális szám reciproka racionális? Tudtok rá példát?

Szerintem irracionális számnak a reciproka is irracionális. Racionális nem lehet, hiszen akkor felírható például úgy, hogy a/b, ahol a és b két egész szám. Ebben az esetben az eredeti szám egyenlő b/a-val, azaz szintén felírható két egész szám hányadosaként.

Ezen kívül a 0-án kívül minden racionális szám reciproka értelmezhető a valós számok halmazán (a 0 pedig nem irracionális, és a reciproka sem azért nem értelmezhető a valós számok halmazán, mert komplex szám lenne). Azaz irracionális szám reciproka nem lehet komplex szám.

A komplex számok felírhatók a+b*i alakban, ahol a és b racionális számok, és i^2 = -1. Szóval itt szerintem nem nagyin kerülhetnek elő.

De majd remélehetőleg egy a témához jobban értő megerősíti vagy kijavítja a válaszomat.

A matematikában az általában vagy azt jelenti, hogy az esetek túlnyomó többségében (mint ahogy a földi halandók is használják), vagy azt, hogy mindig. Kicsit logikátlan, de ez van.

Lényeg: általában = mindig (vagy általában).

A levezetésed pedig teljesen jó. Komplex számoknál pedig általában (vagyis tényleg általában) nem szoktuk külön vizsgálni az irracionális mivoltot.

Ahogy #2 is írta, ha egy szám reciproka racionális szám, akkor felírható a/b alakban. Így az eredeti szám is felírható kell, hogy legyen b/a alakban, így szükségszerűen racionálisnak kell lennie. Tehát nem lehet egy irracionális szám reciproka racionális szám.

> r tegyük fel, hogy racionális. Ha ezt szorozzuk 1/r-rel, akkor 1-et kapunk.

És ez hogy jön ide? Attól, hogy két irracionális szám (x és r) *szorzata* racionális, attól még a két szám *maga* lehet irracionális.

Szorzásnál:

racionális * racionális = racionális

irracionális * racionális = irracionális

irracionális * irracionális = racionális vagy irracionális

Osztásnál:

racionális / racionális = racionális

irracionális / racionális = irracionális

racionális / irracionális = irracionális

irracionális / irracionális = racionális vagy irracionális

> A levezetésben feltevés szerint r racionális úgy, hogy 1/r irracionális, és ezek szorzata 1, ami nem lehet

Ebből az következik, hogy a felvetés (miszerint r racionális) nem igaz. Tulajdonképpen ezzel azt bizonyítottuk, hogy akkor r-nek irracionálisnak kell lennie.

> Viszont: Egy irracionális szám (x) és egy nem zérus racionális szám (r) szorzata mindig irracionális szám.

A probléma ezzel a mondattal van. Nem igaz. Két irracionális szám szorzata lehet racionális szám. Pl.:

√2 * √2 = 2

(((

A √2 irracionális voltát könnyen le lehet vezetni:

- Tételezzük fel, hogy √2 racionális.

- Ekkor felírható egy olyan √2=a/b alakban, ahol a/b tovább nem egyszerűsíthető tört, azaz a és b legyenek relatív prímek. (Nyilván a és b egész, és b nem nulla.)

- A √2=a/b egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve ezt kapjuk: 2 = a²/b².

- Átrendezve: 2b²=a².

- Az egyenlet bal oldala páros, így a jobb oldalának – a²-nek – is párosnak kell lennie.

- Tehát a-nak is párosnak kell lennie, így felírható kell legyen a=2n alakban. (Ahol n egész.)

- Az a=2n egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: a²=4n².

- Visszahelyettesítve az 2b²=a² egyenletbe: 2b² = 4n².

- Kettővel leosztva: b² = 2n².

- A jobb oldal páros, tehát a bal oldalnak is párosnak kell lennie, tehát b-nek párosnak kell lennie.

- Így azt kaptuk, hogy a-nak és b-nek is párosnak kell lennie, így nem lehetnek relatív prímek, ami kikötésünk volt.

- Ellentmondásra jutottunk, így a kiinduló feltételezés hamis, √2 nem lehet racionális.

)))

Az "általában" itt azt jelenti, hogy az előző állítás egy általánosabb formája is igaz.

Pl. 1 + 3 + 5 = 9 , ami 3 a négyzeten.

Általában (értsd: általános formában) az első n páratlan szám összege n².