Mikor 0 egy mátrix determinánsa?

Kedves Kérdező!

Nem igazán tudom, hogy milyen felsőmatematikai ismeretekkel rendelkezel, illetve ennek tükrében félreértelmezem-e a kérdést.

Ha van egy tetszőleges négyzetes mátrixunk, akkor a mátrixhoz (egyértelműen) rendelt szám legyen a determináns (definíció szerint). A determináns értéke több esetben is kapásból nulla. Ilyenek:

- Tetszőleges sora csak zérus elemeket tartalmaz,

- Tetszőleges oszlopa csak zérus elemeket tartalmaz.

Mivel bizonyíthatóan a kifejtés tetszőleges sor/oszlop szerint történhet, ezért válasszuk a zérus sort. Ekkor minden aldetermináns (ami (n-1)×(n-1) dimenziós, ha a kiindulási n×n-es) kifejtési együtthatója nulla, tehát a teljes kifejezés nulla. Q.E.D.

Hasonlóan bizonyítható:

- Tetszőleges két sor lineárisan összefüggő (sokszor csak azonosnak mondják),

- Tetszőleges két oszlop lineárisan összefüggő (sokszor csak azonosnak mondják).

A fenti két állítás bizonyításához ki kell mondani, hogy tetszőleges sor/oszlop (bármely nem nulla számmal szorozva) hozzáadása egy másik tetszőleges sorhoz/oszlophoz nem változtatja meg a determináns értékét.

Ennek értelmében azonnal látni, hogy ha a két lin. öf. sort az elmondottak szerint manipuláljuk (lásd gyakorlatban: Gauss-elimináció), akkor létrehozható egy pusztán zérus sor/oszlop, tehát az előző bizonyítás alapján a determináns nulla. Q.E.D.

Azokat a mátrixokat, amelyeknek a determinánsa nulla ún. szinguláris mátrixoknak nevezzük. A gyakorlati (értsd: numerikus) számítások során felvetődött a nullához (pl. tolerancián túl) közeli értékkel rendelkező determináns. Ez utóbbit kvázi szingulárisnak szokás nevezni. Értelemszerűen akkor és csak akkor, ha egy mátrix determinánsa nem nulla nevezzük a mátrixot regulárisnak.

Ezen a ponton mindenképp szeretnék reflektálni a kérdés egyéb részére. Mindenekelőtt ki kell mondani, hogy egy mátrix inverzét a determináns reciprokának segítségével képezzük.

Az unitér és normális mátrixok esetén a definíciójuk alapján meghatározott tulajdonságaik tartalmazzák azok inverzét. Mivel létezik, ezért nem létezik olyan unitér vagy normális mátrix, ami szinguláris lenne.

Meggondolandó az is, hogy mi van a hermetikus/önadjungált mátrixok esetével. Bizonyíthatóan az önadjungált mátrix sajátvektorai ortogonálisak egymásra, így az általuk kifeszített téren diagonalizálhatóak (vagy egy jó lineáris transzformációval, illetve diagonalizációs eljárással: Löwdin- vagy Schmidt-féle pl). A diagonális vagy felső-/alsóháromszög mátrixok determinánsát a diagonális elemek produktuma határozza meg, ami diagonális esetben a sajátértékek produktumával egyenlő. Mivel a hermitikus mátrixok sajátértékére csak azok valóssága van kimondva, ezért ez lehetséges. Ennek is van gyakorlati jelentősége, de ezt itt senki nem kérdezte, így inkább megtartom magamnak.

Remélem érthetően és a kérdésre válaszoltam!

Nagyon szép válasz ez. Annyit hozzátennék, hogy a normális mátrix definíciója a (N*)N=N(N*), azaz a definíció nem mondja, hogy invertálhatónak kell lennie, tehát lehet olyan normális mátrix aminek 0 a determinánsa.

Unitér mátrixok esetében igazad van.

Még vannak azok speciális mátrixok, ahol M^n=I. (sajnos nem jut eszembe a nevük.) Az ilen típusú mátrixoknál sem lehet a determináns 0.

Kedves #12 (10:08)!

Valóban, köszönöm a korrekciót a normálmátrixokra. Sajnos a reggeli óráknak tudható be.

Ha jól értem az idempotens mátrix a keresett mennyiség. Erről nem hallottam, de érdekes információ, utána fogok gondolni.