Hogyan kell kiszámolni a mátrix determinánsát?

[link]

lsd itt a 3×3-as mátrix determinánsa részt. Én nem szoktam szívni azzal, hgoy felbontsam 3 db 2x2-es determinánsra, hanem egyből a

det(A) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb képlettel számolom. Ezt nem kell megjegyezni, csak rajzold be a 3x3-as mátrixba ezeket a vonalakat. Látni fogod, hogy az összeadandók fentről le, balról jobbra mennek, a kivonandók pedig lentről felfelé, belról jobbra. Érdemes a wikin lévő ceg helyett a gec irányt behúzni (ugyana természetesen az eredmény), mert így jobban látod az általános logikáját.

Ha ugyanannyi ismeretlened van, mint egyenleted, és az egyenletek egymástól függetlenek (tehát az egyik egyenlet nem egyiknek a valahányszorosa, vagy több egyenletet konstanssal szorozva és előjelesen összeadva megkapható valamelyik egyenlet), akkor egyértelmű a megoldás, ami vagy van, vagy nincs, ebben az esetben, ha az egyenlet ismeretlenjeinek együtthatóiból felírt mátrix determinánsa 0, akkor nincs megoldása, ha pedig 0-tól különböző, akkor van.

Másik oldalról megközelítve: ha a determináns nem 0, akkor egyértelmű megoldása van, ha 0, akkor vagy nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van, ekkor vannak egyenletek, hogy azok valahogyan függnek egymástól, ekkor lesznek olyan ismeretlenek, amelyek csak egy másik függvényében írhatóak fel.

Példák: I:

x+y+z=5

3x-y+2z=8

6x-2y+4z=16

Ebben az egyeneletrendszerben a harmadik egyenlet a második kétszerese, tehát ezek függnek egymástól, így a harmadik egyenlet el is hagyható, így marad:

x+y+z=5

3x-y+2z=8

Ezek már nem függnek egymástól, tehát végtelen sok megoldása lesz ennek az egyenletrendszernek, így az eredetinek is.

II:

x+y+z=5

3x-y+2z=8

5x+y+4z=18

Itt ha az első egyenletet megszorozzuk 2-vel és hozzáadjuk a másodikhoz, akkor pont a harmadikat kapjuk, ezért a fentiek miatt ismét elhagyható a harmadik egyenlet, és ugyanazt kapjuk, hogy végtelen sok megoldása lesz.

III:

x+y+z=5

3x-y+2z=8

5x+y+4z=16

Itt az egyenletek már nem függnek egymástól, de a determináns 0 lesz, így az egyenletrendszernek nem lesz megoldása (az persze igaz, hogy a mátrixban a sorok függeni fognak egymástól, ezért lesz a determináns 0).

Az ilyen egyenletrendszerek megoldásához a Gauss-elimináció ajánlott, többegyenletesekre pedig a Cramer-szabály. Mi is tanultunk ezeken kívül még vagy 2 módszert, hogy hogyan lehet megoldani, amit vizsgára tudtam, mára meg nem tudnám magamtól úgy megcsinálni.

Gyakorláshoz egyszer csináltam egy munkalapot:

[link]

Ez háromismeretlenesre, de ott van négy ismeretlenre is.