Linearis algebrabol mit jelent a termeszetes(standard) bazis? Valamint hogyan alakithatok at egy bazist termeszetes bazissa?

[link]

Gyakorlatilag olyan vektorrendszer, amelyekben minden vektor hossza 1 hosszú, és a vektorok páronként merőlegesek egymásra (skaláris szorzataik páronként 0, innen lehet tudni).

Ahhoz, hogy természetes bázist fel tudj írni, azt kell tudnod, hogy a vektorok lineárisan függetlenek-e. Ha például van 5 vektorod, amelyek lineárisan függetlenek egymástól, akkor az 5 vektor bázisa felírható úgy, hogy (1 0 0 0 0), (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), és ez lesz a természetes bázis. Ha az 5 vektor nem lineárisan független, hanem lineárisan függnek, akkor addig kell redukálnod a vektorrendszert, amíg nem maradnak független vektoraid, és ha ezzel megvagy, akkor már fel tudod írni a természetes bázist.

" Ha az 5 vektor nem lineárisan független, hanem lineárisan függnek, akkor addig kell redukálnod a vektorrendszert, amíg nem maradnak független vektoraid, és ha ezzel megvagy, akkor már fel tudod írni a természetes bázist."

Ezt a részt nem mondtam teljesen jól.

Vegyük például a v=(1 2 3 4 5) vektort. Ez a vektorrendszer 1 darab vektort tartalmaz, nem nagyon lehet hova redukálni. Ellenben ennek a vektornak ugyanaz a természetes bázisa, amit fent lekörmöltem, vagyis az (1 0 0 0 0), (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1) vektorok alkotják. Azonban a felsorolás nyugodtan folytatható, tehát például az (1 0 0 0 0 0), (0 1 0 0 0 0), (0 0 1 0 0 0), (0 0 0 1 0 0), (0 0 0 0 1 0), (0 0 0 0 0 1) is természetes bázisa lesz a v vektornak, annyi különbséggel, hogy a koordináták egy kicsit megváltoznak: v(1 2 3 4 5 0). Viszont a másik iárnyba ez nem működik, tehát ha van 5 (nem nulla) koordináta, akkor legalább 5 bázisvektorra szükség van.

Általában a minimumra törekszünk, de ez lehet feladatfüggő is.