A háromszög külsö szöge miért nem az a szög, ami 360 fokra egészíti ki a belsőt?

"Amikor először hallottam a nevét, én is azt kérdeztem, amit ti akartok kérdezni: "Hát nem fiú? Azt hittem, fiú."

- Én is azt hittem - mondja Róbert Gida.

- De hát akkor nem lehet Mici a neve! Mért hívod Micinek?

- Nem én hívom...

- De hát azt mondtad.

- Mert úgy hívják. Nem érted, hogy úgy hívják?"

Egy sokszögnek ugye vannak szögei. Most csak nevezzük simán szögnek. Egy négyzetnek 90°-os szögei vannak, egy egyenlő oldalú háromszögnek 60°-os szögei, stb… Hogy most mekkora az a szög, amivel kiegészülve teljes szöget kapunk, az nem annyira érdekes. Nyilván ki lehet számolni, de különösebb fontossága nincs.

Viszont vegyünk egy szabályos nyolcszöget. Annak a szögei 135°-osak. Remek. De most nézzünk rá egy kicsit más szempontból, építsük meg útként ezt a nyolcszöget és próbáljunk végigmenni rajta. Lásd: [link] . Mit fogunk tapasztalni? Induljunk el a H pontból a G felé. Nyilván amíg a nyolcszög élén haladunk, nem kell irányt változtatni. Viszont elérve a G pontra el kell kanyarodni 45°-kal. Majd az F pontnál megint el kell kanyarodni 45°-al.

Ez viszont már érdekesebb, mert ahhoz, hogy megtegyünk egy teljes „kört” ezen a nyolcszögletű futópályán, pontosan 360°-nyit kell összességében elfordulni. Megyünk északnak, majd északkeletnek, majd keletnek, majd délkeletnek stb… És ez független attól, hogy hány csúcsa van annak a sokszögnek, amilyen alakú az út. Sőt nem csak szabályos, hanem nem szabályos, sőt konkáv sokszögre is igaz.

Na most ugye az elkanyarodásnál a csúcsnál van egy egyenes, amin mehetnénk tovább. Ehhez képest fogunk mi elkanyarodni. Van itt két szög. Hogyan nevezzük őket? Hát nevezzük belső szögnek azt, ami a sokszögön belül van, és nevezzük külső szögnek azt, ami kívül van, amit a sokszög elhagyását jelentő egyenes vonalú mozgás és a sokszög élén való továbbhaladást jelentő elkanyarodás zár közbe.

Ha így nevezzük el, akkor már könnyebb megfogalmaznunk azt, amit a második bekezdésben írtam: Egy sokszög külső szögeinek összege 360°. Viszont ezek a külső szögek a belsőkkel egyenes szögre – 180°-ra – egészítik ki egymást, így ugye ha veszünk minden csúcsnál egy ilyen egyenes szöget, akkor az „n” darab csúcs esetén n*180° szöget jelent. Ha ebből kivonjuk a külső szögek összegét, amiről tudjuk, hogy az 360°, akkor ami marad, az a belső szögek összege: n*180°-360° = (n-2)*180°. Ez a sokszög belső szögeinek összege. Na ez már sokkal érdekesebb, és sokkal többet megtudnunk róla a sokszögről, mint amennyit a teljes szögre való kiegészítés adna. Ez az összefüggés sokkal lényegesebb ahhoz, hogy ez alapján nevezzük el a szögeket, nevezzük belső és külső szögnek.