El lehet képzelni, hogy a tudományos dolgok matematikai leírására valami teljesen más matekot is kitalálhattak volna, mint amit éppen használunk?

El, csak az működésképtelen vagy túl bonyolult lett volna tehát szükségszerűen oda egyszerűsödne mint amit most használunk.

Pl. a római számok használata erre jó példa. Minden alapműveletet kiba nehéz megcsinálni velük erre jöttek az arab számok és pikkpakk kitúrták a helyéről a római számokat.

Kérdés, hogy mit jelent a „teljesen más” matek. Nyilván van számos jelölésmód, ami ugyanazokat a matematikai műveleteket jelentik.

Pl.:

(2+3)*(4+5)

Felírható lenne függvényekkel is:

szorzás(összeadás(2,3),összeadás(4,5))

Vagy ott a fordított lengyel jelölés, ahol a műveleti jel nem a két operandus közé, hanem utána kerül:

2+3 → 2 3 +

Ilyen módon:

(2+3)*(4+5) → 2 3 + 4 5 + *

(Ez azért praktikus mert nem kell zárójelezgetni, vannak ilyen jelölésmódot használó számológépek.)

~ ~ ~

De ez a jelölés. A matematika „tartalma” – függetlenül attól, hogy hogyan jelöljük – a valóság absztrakciója. Lehetne definiálni mindenféle műveletet, aminek a gyakorlatban vajmi kevés haszna lenne, sőt lehetne olyan matematikát is kreálni, amivel leírhatóak az általános műveletek, csak a fenének sem kell ilyen.

Mondjuk ha definiálom a # műveletet, aminél:

a # b = a+b-3

Akkor ezzel le lehet írni az összeadás műveletét:

(a # b) # 6 = (a+b-3)+6-3 = a+b

Csak minek…

~ ~ ~

Mondok egy példát. A gyökvonás elvileg a hatványozás inverz művelete:

5² = 25 → √25 = 5

(-5)² = 25 →?→ √25 = -5

Döntés kérdése volt, hogy 25 négyzetgyöke mindkét olyan számot jelölje, aminek a négyzete 25, azaz a +5-öt és a -5-öt is, vagy csak a nemnegatív értéket. Úgy volt praktikusabb, hogy a nemnegatív értéket jelentse, mert ez volt a gyakoribb. Mikor a negatív érték is kell, akkor azt úgy jelöljük, hogy ±√25. Ha fordítva lenne, a √25 jelentené a +5-öt és -5-öt is, ha csak a nemnegatív kell, akkor |√25| lenne a jelölés. De mivel pl. egy területszámításnál nemnegatív értékek kellenek, egy csomó helyre kellene kiírni az abszolút értéket. Ezt tudjuk megspórolni azzal, hogy a négyzetgyök a nemnegatív gyököt jelenti.

"Úgy volt praktikusabb, hogy a nemnegatív értéket jelentse, mert ez volt a gyakoribb."

Ez butaság, a komplex függvényeknél a gyökfüggvény kétértékű, és ezért a ± jel ott nem is kell.

Bár ezek szerint csak az óvodás szintig sikerült eljutnod, amikor bemagoltatták azt a nemnegatívos definíciót...

3: szerintem meg pont te nem értetted meg a komplex számokat, és a komplex függvénytant... A kompex számok onnan jönnek elő, hogy "milyen jó lenne, ha egy másodfokú egyenletnek vagy 0 vagy két gyöke lenne. Ez független attól, hogy hogyan értelmezzük a négyzetgyök vonás műveletet. Valós számtérben egy másodfokú egyenletnek, hogy 1 db. valós gyöke, 2 valós gyöke, vagy egy darab 0 gyöke van az együtthatóktól függ.

Szintén nem beszéltünk azokról az esetekről amikor nem négyzetgyököt kell vonni. Pl. harmadik gyöke minden számnak van egy darab van. A "probléma" a páros kitevőknél van mert csak a páros kitevők "tüntetik el" az előjelet.

Illetve akkor jönnek azok a nehézségek (és ennek komplex esetben sincs "megfelelő" megoldása), hogy bebizonyítható, hogy a gyök(x)=x^(1/2) ezzel bevezethető a racionális hatványkitevő, majd ebből egy általánosítással kiterjeszthető valósra a hatványkitevő (ennek leginkább számítási nehézségei lesznek én egyetlen egy kiszámítási módszert ismerek erre, mégpedig az, hogy logaritmáljuk a hatvány alakot azaz x=a^b esetén y=log(x)=log(a^b)=b*log(a), majd x=10^y alapján számítható. Még komplex számok esetén sem értelmezhető negatív szám logaritmusa így a fenti hatvány alak negatív számra nem kiszámítható.) elképzelhető, hogy valami elborult helyen értelmezik ezt a hatványt negatív alapra de nehezen tudom elképzelni, hogy mennyi lesz -3^pi hatványa (egyáltalán + vagy - lesz az előjele), kényelmesebb azt mondani nincs erre az esetre értelmezve.

Visszatérve az erdeti kérdésre: elképzelhető, hiszen kezdetben több matek is volt, és szép lassan egyesültek. Kezdetben pl. a számelmélet, halmazelmélet, boole algebra, geometria, diszkrét matek nagyjából független matekok voltak.

"A kompex számok onnan jönnek elő, hogy "milyen jó lenne, ha egy másodfokú egyenletnek vagy 0 vagy két gyöke lenne."

Erre ott a valós számkör. A komplex számok halmazán mindig 2 gyök létezik. (a többszörös gyök is két gyök!)

"Még komplex számok esetén sem értelmezhető negatív szám logaritmusa"

Már miért ne lenne értelmezhető?

Sőt, még negatív alapra is értelmezhető!

Alapvetően az határoz meg egy matematikai rendszert, hogy milyen axiómákból indulsz ki.

Ha Wikipédián kutakodsz egy kicsit, vannak egészen egzotikus rendszerek például a geometriában, csoportelméletben, lineáris algebrában stb.

Ezeknél az axiómák alapján teszünk különbséget. Például mást jelent a két pont közötti távolság fogalma, vagy máshogy értelmezünk 1-1 aritmetikai műveletet.

Innentől kezdve csak olyan dolgok lehetnek részei a rendszernek, amik levezethetőek az axiómákból. Az axiómákat pedig úgy választják ki, hogy egy adott feladatból kiindulva minél alkalmasabb legyen problémák tág körének modellezésére.

A származtatott műveletek használata (pl egy függvény integrálási művelete) is eltérhetnek, mivel egy feladatot nem csak egyféle módon lehet megoldani. Ezek csak okos módszerek, nincs kőbe vésett helyük a matematikában. Viszont arra törekednek az emberek, hogy logikailag és numerikusan minél egyszerűbb legyen egy megoldás, így gyakran elő fog fordulni, hogy két ember ugyanazt a módszert fogja kitalálni egymástól függetlenül is.

Összességében vannak olyan alapfogalmak, amik nélkül nagyon nehéz elképzelni a matematikát. Az a könnyebben elképzelhető eset, hogy a fejlődés során eltérő feladatok válnak fontossá, így az egyes területek gyorsabban fejlődnek a többinél. Ilyenkor megváltozik a felfedezések sorrendje, ami másfajta megközelítésekhez vezet.

#3

> Ez butaság, a komplex függvényeknél a gyökfüggvény kétértékű, és ezért a ± jel ott nem is kell.

> Bár ezek szerint csak az óvodás szintig sikerült eljutnod, amikor bemagoltatták azt a nemnegatívos definíciót...

Nem, ez nem az óvodás szint, hanem az általános iskolai… meg a középiskolai… meg az egyetemi szint is. Komplex számok halmazán a gyök fogalma mást jelent, mint VALÓS számok esetén a NÉGYZETgyök fogalma.

(Na jó, talán az valóban lemaradt az előző válaszomból, hogy valós számokon értelmezett négyzetgyökről beszéltem.)

Mindenesetre valós számok esetén definíció szerint:

b = √a ⇔ b² = a ; a,b∈ℝ\ℝ⁻

vagy ha úgy jobban tetszik:

√(x²) := |x|

Ki nem hiszi, járjon utána:

[link]

„Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a.”

[link]

„Every nonnegative real number a has a unique nonnegative square root, called the principal square root, which is denoted by √a, where √ is called the radical sign or radix.”

~ ~ ~

Pont ezért hoztam fel példának, mert míg komplex számok esetén a gyökvonás minden olyan gyököt jelent, aminek az n-dik hatványa az a szám, amiből gyököt vontunk, valós számok esetén mégis van egy extra kritérium, egy az általánosnál szűkebb definíció. Miért? Mert így praktikus. Pl. fizikában, vagy mondjuk egy területszámításnál sokszor vannak olyan számítások, ahol bejön a gyökvonás, de a kiszámolt mennyiség jellegénél fogva csak nemnegatív lehet (pl. távolság). Egyszerűen itt praktikusabb egy speciális definíciót használni.

Ugyanilyen speciális tulajdonsága a négyzetgyöknek, hogy amíg n-dik gyök esetén mindig ki kell írni a gyökjel bal felső indexébe n-t, addig négyzetgyök esetén nem kell kiírni, pontosabban ha nincs semmi írva a gyökjel bal felső indexében, akkor az automatikusan négyzetgyököt jelent. Miért? Megint csak azért, mert így praktikus.

Ilyen módon egy csomó helyen nem kell felesleges kikötéseket, vagy abszolút érték jeleket kitenni lépten-nyomon, meg nem kell egy csomó helyen teljesen felesleges ² indexeket írni a gyökjel elé.

Ha a matematikáról beszélünk nagy általánosan, akkor a geometria is része, ott pedig VAN több alternatív változat.

És mind működőképes, csak más területen.

Általánosan elműködik a hagyományos euklideszi geometria, de ha például a rel. elméletben számolunk, csillagászati számításokhoz kell, vagy éppen szubatomi dolgokhoz, akkor a nemeuklideszi geometriák alkalmasabbak, jobban modellezik a valóságot.

No igen… A matematika célja az volt, hogy a valós világ mindenféle tulajdonságaiból kiemeljen valamilyen elvonatkoztatással a vizsgálódás szempontjából érdekes tulajdonságokat, erre adjon egy absztrakt teret és ebben az absztrakt térben, ennek az absztrakt térnek a szabályai alapján jusson el egy következtetésre, amit visszavetítve a valós világra, a valós világ kérdéseire kapunk választ.

A matematikában két töréspont volt. Az első az, amit említettél, a nemeuklideszi geometria kialakulása. Ugye Eukleidész szépen pontokba szedte a geometria axiómáit és posztulátumait. De ebből az egyik erősen kilógott a sorból, nem volt annyira triviális és megkérdőjelezhetetlen, mint a többi. Megpróbálták ezt a többi axiómából és posztulátumból levezetni, hátha kihúzhatóvá válik az axiómarendszerből. Nem sikerült. Megpróbálták más posztulátummal helyettesíteni az ominózus posztulátumot, ami triviálisabb és kevésbé megkérdőjelezhető. Ez részben sikerült, sikerült ugyan helyettesíteni a posztulátumot, de nem lett kevésbé triviális. Aztán megpróbálták azt, hogy vették kvázi a posztulátum ellentétének megfogalmazást, hátha úgy ellentmondásra jutunk, és akkor a posztulátum bizonyítva lesz…

Mint kiderült, nem jutottunk ellentmondásra. Az így elsőként megszülető Bolyai-Lobacsevszkij-geometria ugyanolyan konzisztens (ellentmondásmentes) geometria lett, tehát matematikai eszközökkel nem lehetett eldönteni, hogy az immáron két geometria közül melyik helyes és melyik nem, mert matematikai szempontból mindkettő helyes, viszont egymásnak meg ellent mondanak.

De ez még a kisebb trauma volt. Bár megkérdőjeleződött egy kicsit az, hogy a matematika a valóság absztrakciójával keletkezett diszciplína, de azért ott volt menedékként, hogy majd a fizikai világ vizsgálódásából ki fog derülni, hogy melyik az a geometria, ami helyesen írja le a valós tér működését. Nagyon úgy tűnt, hogy az euklideszi geometria az, ami leírja a valóságunkat, Einstein relativitáselmélete mutatta meg, hogy tulajdonképpen nem, a világunk a Riemann-geometria szabályai szerint működik, aminek határesete az euklideszi geometria, viszont eléggé közel van a világunk ehhez a határesethez, ezért tűnt a világunk euklideszinek.

A második csapás előtti viharfellegek a naiv halmazelmélet paradoxonjai körül kezdtek gyülekezni, és a csapás maga Gödel két nemteljességi tétele adta. Az egyik tétel azt mondta ki – konyhanyelven megfogalmazva –, hogy vagy ellentmondásmentes egy matematikai axiómarendszer, de akkor vannak olyan állítások, amelyek sem nem bizonyíthatóak, sem nem cáfolhatóak. Ez baj, mert addig azt gondoltuk, hogy egy matematikai problémának mindig van megoldása, csak eleget kell keresni, hogy megtaláljuk. Igaz a Goldbach-sejtés? Előbb-utóbb majd kiderül, csak sokat kell dolgozni rajta. Gödel első nemteljességi tétele viszont azt mondta ki, hogy akár lehetséges az is, hogy pont erre a kérdésre egyszerűen nincs válasz, nincs bizonyítás. Sebaj, gondolná az ember, elég valahogy eldönteni azt, hogy ez egy ilyen megválaszolható kérdés, vagy sem, és akkor nem fogunk feleslegesen dolgozni. Csakhogy a második nemteljességi tétel azt mondja, hogy nem eldönthető egy axiómarendszerről, hogy ellentmondásmentes-e. Ennek viszont következménye az is, hogy nem eldönthető, hogy egy-egy kérdésre létezik-e bizonyítás, vagy sem. Nem tudjuk kirostálni a meg nem válaszolható kérdéseket, és a megválaszolhatókra koncentrálni, mert nem tudjuk megállapítani azt, hogy egy kérdés megválaszolható-e vagy sem.

Ez már komolyabb csapás volt, mert lehet, hogy valaki a fél életét egy olyan probléma megoldására áldozta, aminek tulajdonképpen nincs is megoldása. Illetve kiderült, hogy a matematika nem tudja a valós világ minden problémájának a megoldására egy absztrakt rendszert biztosítani. És amíg a töréspont okozta problémát a geometriánál legalább ki lehetett utalni a fizikának, aki majd megoldja a problémát, addig itt nincs ez a kapaszkodó sem, ez a matematika, mint absztrakt rendszer belső sajátossága. De azért ezt a traumát is kiheverte a matematika, és továbbra is válaszokat keres, és lehet, hogy ha egy-egy konkrét kérdésre nem is fog választ találni, de számos válasz, részeredmény, „melléktermék” keletkezik, amivel nő a tudásunk a világot leíró absztrakt rendszer, a matematika diszciplínáján belül.

A matematika azért ettől a két törésponttól függetlenül a valóságot próbálja absztrakt, elvonatkoztatott módon megragadni, nyilván a valóság törvényszerűségeiből kiindulva, és mivel a valóságunkból egy van, a matematika jelleg is meghatározott ezáltal. Ugyan a matematika elrugaszkodott egy kicsit ettől, és olyan kérdésekkel is elkezdett foglalkozni, amelyek látszólag már nem valós problémákból fakadt, pl. Leibniz kimondottan büszke is volt arra, hogy olyan kérdésekkel (is) foglalkozik, aminek soha semmilyen valós, gyakorlati felhasználása nem lesz, pl. kidolgozta a kettes számrendszerben való műveletvégzés matematikáját, meg foglalkozott prímszámokkal kapcsolatos kérdésekkel, ma meg a digitális számítógépek működésének ez a kettes számrendszerben való műveletvégzés az alapja, a titkosítás rendszere is részben Leibniz eredményeire épül. Lám, mégis lett gyakorlati haszna annak, amiről Leibniz olyan büszkén állította, hogy soha nem lesz.

"De ebből az egyik erősen kilógott a sorból, nem volt annyira triviális és megkérdőjelezhetetlen, mint a többi."

Tippelek, melyik volt:

"Egyszer aztán minden ereje elhagyja, elhallgat, és még egyszer a katonaiskolára gondol. Elboruló elméjében, mint távoli szavak, verődnek vissza a zajok... a kréta ropogása... elfolynak az arcok, és egy pillanatra világosan látja a végtelent, amelyről e percben jelentette ki a felelő, hogy ott a párhuzamos vonalak találkoznak. Látja a végtelent... nagy, kék valami... oldalt egy kis házikó is van, amire fölül fel van írva: "Bejárat a negyedik végtelenbe." A házban fogasok vannak, ahol a párhuzamos vonalak leteszik a kalapjukat, aztán átmennek a szobába, leülnek a padba, és örömmel üdvözlik egymást... a párhuzamos vonalak, igen..."

:)