2 párhuzamos egyenes miért metszi egymást a végtelenben?

"Az a baj azzal a vizuális gyakorlattal hogy ez esetben hátárértékkel közelítgetjük a párhuzamost"

Pontosan ezt teszi az a kijelentés is, hogy a párhuzamosok a végtelenben találkoznak.

Végtelen mértékű megközelítés, végtelenben lévő metszéspont.

Ez a megfogalmazás nem foglalkozik azzal, hogy a nulla vonalak közti szöghöz közelítés nyílt halmaz és úgy határa a nulla szög.

Nem metszi.

Euklidész - Elemek. Első könyv, 23. definíció:

"Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak és mindkétoldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak."

"Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak és mindkétoldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak." - ez elég érdekes definíció. Hogy lehet egy egyenest végtelenül meghosszabbítani (vagy akármennyire)? És milyen lenne, ha csak az egyik oldalon találkoznának?

(És, de ez már csak kötözködés, a "találkozás" nem épp pontos fogalom itt. Ha én találkozok valakivel, azzal sem lesz közös pontom, de sokáig úgy fogunk haladni, hogy nagyjából fix távolság lesz közöttünk, és a párhuzamos egyenesek pont ezt csinálják. A "nincs közös pontjuk" lenne az egzakt kifejezés.)

Nem olvastam végig a hozzászólásokat, de a következő nézőpontból még senki nem vizsgálta meg a kérdést.

Állításom a következő: Bármilyen egyeneseket teszünk egymás mellé, azokat nem lehet tökéletesen párhuzamba állítani, ebből következik, hogy a végtelenben így vagy úgy, de metszeni fogják egymást. Gondoljunk bele, ha akár csak 0.00000001 fokkal is eltérnek a párhuzamtól, akkor már biztos, hogy metszeni fogják egymást valahol a végtelenben. Egyszerűen fizikai képtelenség ideális párhuzamosságot felállítani a gyakorlatban.

"Gondoljunk bele, ha akár csak 0.00000001 fokkal is eltérnek a párhuzamtól, akkor már biztos, hogy metszeni fogják egymást valahol a végtelenben."

Ebbe nehéz belegondolni, mert nem így van; biztos, hogy valahol a végtelenen innen, tehát véges táv után találkozni fognak.

Az, hogy gyakorlatban mi kivitelezhető és mi nem, teljesen mindegy az elmélet szempontjából. De lehetne sokkal egyszerűbb példát is mondani; ha azt mondom, hogy vettem a piacon egy almát, meg még egy almát, akkor két almát vettem. Gyakorlatilag pedig ezt nem mondhatom, mivel nem két ugyanolyan almát vettem (mivel kivitelezhetetlen), az egyik mindenképp nagyobb a másiknál, tehát ha a kisebbik almát vesszük mércének, akkor 2-nél több almát vettem, ha a nagyobbat, akkor meg 2-nél kevesebbet. Ez abból fakad, hogy az almák térfogata nem ugyanakkora (sőt, akár a nagyobbik alma lehet 2-szer akkora is, mint a másik alma; akkor most 2 almát vettem, vagy 3-at?). Mégis azt mondjuk, hogy 2 almát vettem. Ezért nem jó az a párhuzam, hogy mi hozható ki a gyakorlatban és mi nem.

"biztos, hogy valahol a végtelenen innen, tehát véges táv után találkozni fognak."

Ezt fogalmaztam meg.

Az, hogy szerinted ez jelentéktelen probléma, mert a gyakorlatban nem fontos, attól még igenis kell vele számolni! Képzeld el, hogy két űrhajót egymással párhuzamos irányba több százmillió fényévre küldünk el, ott már az is számít, ha ezred, tízezred fokban eltér a 0-tól a párhuzamosságuk. Azért nagyon nem mindegy, hogy összemennek-e.

"Ezt fogalmaztam meg."

És melyik része fedi ezt annak, hogy

[Gondoljunk bele, ha akár csak 0.00000001 fokkal is eltérnek a párhuzamtól, akkor már biztos, hogy metszeni fogják egymást valahol a végtelenben.] ?

Mert te végtelenről írsz, én pedig végesről.

"Az, hogy szerinted ez jelentéktelen probléma, mert a gyakorlatban nem fontos, attól még igenis kell vele számolni! Képzeld el, hogy két űrhajót egymással párhuzamos irányba több százmillió fényévre küldünk el, ott már az is számít, ha ezred, tízezred fokban eltér a 0-tól a párhuzamosságuk. Azért nagyon nem mindegy, hogy összemennek-e."

Sehol nem írtam, hogy jelentéktelen probléma lenne... Azt írtam, hogy az elmélet úgy működik, hogy lefektetünk alapszabályokat, és arra építkezünk. Az elmélet pedig azt mondja (Euklidész után), hogy a párhuzamosok sehol nem találkoznak (és nincs olyan, hogy 0,000000000001 fokos szöget zárnak be egymással, mert akkor azok nem párhuzamosak), ilyen szempontból lényegtelen, hogy a gyakorlat mit mond.

Én azt mondtam, hogy VALAHOL a végtelenben fognak találkozni. Nem a végtelenben, hanem valahol (nyilván előtte). Szerintem ugyanarról beszélünk, csak te nagyon rácuppantál arra a végtelen szóra.

"Az elmélet pedig azt mondja (Euklidész után), hogy a párhuzamosok sehol nem találkoznak"

Igen és ez az Euklidészi térben van definiálva, ami egy színtiszta elmélet matematikai modellre és nem fedi le a valóságot, ahogyan arra pl. Bólyai rá is mutatott.

"nincs olyan, hogy 0,000000000001 fokos szöget zárnak be egymással, mert akkor azok nem párhuzamosak"

Épp ezt próbálom magyarázni, hogy a gyakorlatban, a valóságban nem létezik párhuzamosság, mert az azt jelentené, hogy abszolút 0 fokot kéne bezárniuk, amit lehetetlen megoldani.