Ha egy 450 méter hosszú emelkedőnek 32 méteres szintemelkedése van, akkor hány fokos emelkedő?

> így két szög azonos módon aránylik ahogy a két oldal.

Igen ezt gondoltad rosszul.

Lásd: [link]

(Mozgasd a jobb oldali piros csúszkát.)

És még egyszer lásd: [link]

> Például ha minden szögem hatvan fokos, akkor 1:1:1 az arány.

Igen, itt pont ez a helyzet. Sőt egy olyan derékszögnél, aminek két 45°-os szöge van, ott is a befogók egyenlőek. De minél kisebb a szög, annál inkább nem így van. Ha gondolod ennek a belátására is készítek egy ábrát.

> mivel nem tudtam, hogy külső vagy belső szöggel kell számolnam

Attól tartok, hogy a külső szög fogalmát is rosszul ismered. A külső szög az a szög, amit a belső szög 180°-ra egészít ki. (A külső szög a belső szög mellékszöge.) Egy általános sokszög esetén valahogy így:

[link]

Háromszög esetén:

[link]

Itt β a belső szög, β' a külső szög.

Derékszögű háromszög esetén az átfogó melletti szögek külső szöge mindig nagyobb, mint 90°.

> Kijött körülbelül cirka 12 fok, amit a szögmérőn leellenőrizve helyesnek találtam.

Akkor vagy az adatok voltak rosszak, vagy rosszul mértél, mert 4,0778°-nak kell kijönnie. ( [link] )

Itt meg kell jegyezni, hogy a lejtő meredekségét a közlekedési táblákon nem fokban szokták megadni a táblákon, hanem %-ban. (Egyszerűbb így számolni.) Egy lejtő x%-os, ha 100 méter – vízszintes – hosszon x métert emelkedik. Tehát tulajdonképpen az 100*a/b értéket adják meg. (Kvázi megspórolnak arkusztangens függvényt.)

Ergo a lejtő 100 * 32/448,86 = 7,13%-os, ami 4,0778°-nak felel meg.

A 100%-os lejtő egy 45°-os lejtőnek felel meg, hiszen ugyanannyit haladsz vízszintesen, mint függőlegesen, 100 méter vízszintes távolságra 100 méter emelkedés jut.

#10: Azt jól gondoltad, hogy a szögek és az oldalak közt valamilyen arányosság áll fenn.

Meglepő manapság az is, hogy valaki képes gondolkodni, és valamilyen úton megoldáshoz jutni, még akkor is, ha a feltevések esetleg helytelenek.

A megdöbbentő viszont az, hogy az arányosság nem lineáris, hanem trigonometrikus. Legalábbis az euklidesi-geometriában, amit középiskolában is tanítanak.

Igazolható u.is. hogy általános háromszögben két oldal úgy aránylik egymáshoz, mint a velük szemben lévő szögek szinuszai.

Ezt szokták szinusztétel néven tanítani, és ha beírod a google-ba, egész biztosan szép szines ábrákat is találsz hozzá, de a lényeg, amit leírtam.

Egyébként a többi válaszolóknak is mondom, hogy ilyen esetben akár lineáris formula is használható.

Alapból ugye kiszámolja az ember, hogy alfa=arcsin(32/450), erre kb. 4,08 fok jön ki.

Viszont aki hallott Taylor-polinomról, és annak az elsőrendű változatát használjuk, akkor

alfa=(32/450)*180/pi.

És mintegy 2%-os hibával u.azt kapjuk, mint a pontos megoldással. Na de most az approximációelméletbe ne menjünk bele.

> És mintegy 2%-os hibával u.azt kapjuk, mint a pontos megoldással.

Ugye ez így nem igaz. A hiba a szög nagyságától függ. Tény, ami tény, a számítás nem helyes. Még ha Taylor-sorként ki is derül, hogy a kérdező hibás oldalarány = szögarány feltételezéséből származó megoldás nem is tér el nagyban a tényleges eredménytől, ha ezt nem a Taylor-sor ismeretéből vonta le, nem logikus egyszerűsítés volt a pontosság rovására, mérlegelve a pontatlanság nagyságát, akkor nem egy logikus, ésszerű lépésként született meg a pontatlan eredményt adó képlet.

Nota bene a kérdező „módszerével” az eredmény 5,9893°-ra jönne ki, a korrekt számítás szerint meg 4,0778°-os a lejtő. Ez nem 2%-os eltérés, hanem 46%-os eltérés.

A 2% hibát a Taylor-sor szerinti linearizált megoldásra értettem a feladatbéli arányokra vonatkozóan. Bár könnyen lehet hogy mégkisebb a hiba.

Akinek van kedve, pötyögje be a gépbe hogy:

{[arcsin(32/450)-(32/450)*180/pi]/arcsin(32/450)}*100%.

A gép legyen deg-be állítva, kijön hogy mennyi a százalékos hiba.

Sőt aki szeretné, csinálja meg paraméteresen. Hogy hány fokra lesz a hibahatár mondjuk 2%, 5%, 10%.

Azaz sin(x)-x=q*sin(x)/100. Ahol q=2,5,10. x=? Excel táblával hamar megoldható ez a transzcendens egyenlet.