Mit jelent a differenciálegyenleteknél, hogy állandó együtthatós?

Azt, hogy a keresett függvény és annak deriváltjainak szorzótényezői konstansok és nem függvények, azaz nem függenek a keresett függvény független változójától.

Pl. a y''(x)+2*y'(x)+1=0

egy állandó együtthatójú differenciálegyenlet, de a

x*y''(x)+2*y'(x)-3x=0

nem az.

Megjegyzem az előző válaszolónak, hogy az, hogy "a keresett függvény és annak deriváltjainak szorzótényezői konstansok "

nem ekvivalens azzal, hogy azaz nem függenek a keresett függvény független változójától.

Amikor azt írod, hogy "azaz nem függenek a keresett függvény független változójától." ez egy leszűkítése annak, hogy "keresett függvény és annak deriváltjainak szorzótényezői konstansok és nem függvények".

Az első megfogalmazás tehát csak az f(x)*y', g(x)*y",... alakokat tiltja, azaz lehetne akár h(y)*y', i(y)*y",...

A második megfogalmazásod viszont helyes, hogy csak konstansok lehetnek. (És egyébként ezek akár komplexek is lehetnek, sőt konstansmátrixok is lehetnek...)

Érted már? Jó, ez lehet kukacoskodásnak tűnik, de nekem azonnal megcsapta az elmémet...

Te nyilván valami matematikus vagy, aki mindent formállogika szerint értelmez. Épp csak a függés fogalmát kevered az explicit függés fogalmával. Ugyanis ha egy f(y)*y' tagot tartalmazó differenciálegyenletet deriválok a független változó szerint, akkor természetesen az f(y) tagot is deriválnom kell a láncszabály segítségével, ergo az f(y) mint szorzótényező függ az x változótól, annak ellenére, hogy nem explicite függ tőle.

Tehát továbbra sem értem, mi a gondod az én megfogalmazásommal.

Értem amit írsz, az a baj, hogy te feltételezed, hogy egy f:x->f(x,y(x)) leképezés felírható úgy mint f:x->f(x)*f(y(x)). Ez nyílván általában nem igaz.

Vagyis az rendben hogy egy f(y) függ x-től is, azaz f(y(x)) amiről beszélünk, de ez mindenképp megszorítása az f(x,y(x)) esetnek.

Tehát az eredeti kérdésre a korrekt válasz, hogy n-edrendű egyenlet esetén minden y^(k) (k=0,...n) együtthatója konstans. (A válaszod első részében kb. ez is van, az jó is.).

Vagy azt lehet még mondani, hogy minden y^(k) (k=0,...n) együtthatója nem lehet f(x,y) alakú.

Értem, amit írsz. De amit írsz, akkor a végén mégiscsak oda jutunk, hogy az együthatókra az f(x,y(x)) alakot kell tiltani.

A legelső példádba ugyanis tipikusan f(x) volt, ami továbbra is megszorítása az f(x,y(x))-nek.

Sőt továbbmegyek, mert ez még mindig nem az általános alak. Ugyanis pl. a második derivált együtthatója lehetne f(x,y,y') alakú is.

Hasonlóan az n-edik derivált együtthatója lehetne

f(x,y,y',...,y^(n-1)).

Értem, hogy ha y' van mondjuk az együtthatóban, az függ x-től, de ez nem jelenti azt, hogy előáll f(x) alakban.

És a diffegyenleteknél ez a fajta jelölésmód lényeges, mivel a megoldás bonyolultsági foka is nagyban függ ettől, mind analitikus, mind numerikus módszerek tekintetében. Nem véletlen tárgyalják a tankönyvek külön pl. az autonóm egyenleteket, ahol a jobboldal pl. tipikusan f(y)-alakra egyszerűsődik az eredetileg f(x,y(x))-ből.

A parcdiffegyenletekbe meg nem is mennék bele, ott az együtthatófüggvényeknek ezen megkülönböztetése külön tekintetet érdekel.

Tehát összefoglalva ne keverjük az f(x), f(y(x)), és f(x,y(x)) jelöléseket, mert más a tartalmuk.

Ez persze messze vezetne, ha teljes mélységben belemennénk, de nem szeretném itt most a diffegyenletek kvalitatív elemeit tárgyalni.

Speciális értelemben neked is igazad van, de te teljesen másról beszélsz, és az eredeti kérdés szempontjából irreleváns részletek között teszel különbséget. Sem az f(x), sem az f(x,y(x)) sem az f(y(x)) esetben nem állandó együtthatós egyenletről beszélünk, és mindegyik eset közös vonása, hogy x-től függő együtthatói vannak y deriváltjainak. Nem kell túlbonyolítani. Nyisd ki a Bronstejnt, abban elég egyszerűen elintézik a dolgot azzal, hogy konstans függvényekről beszélnek. (És minek a konstans függvényei? Magától értetődően a független változónak.)

Továbbá f(x) nem megszorítása az f(x,y(x))-nek. Az utóbbi azt jelenti, hogy f y-n keresztül közvetett módon x függvénye, de emellett még explicit módon is függ x-től. Ellenben a sima f(x) csak annyit jelent, hogy f függ x-től (mindenféle alaki megszorítás nélkül), tehát éppenséggel általánosabb és nem szűkebb jelentésű.