A p valós paraméter, mely értéke esetén lesz a 3x^2+ (p-1) x-2=0 egyenlet gyökeinek négyzetösszeges éppen 43/9?

Az egyenlet gyökeit x1 és x2 helyett q-val és r-rel jelölöm a jobb áttekinthetőség kedvéért.

Tehát az a kérdés, hogy m-re lesz q^2+r^2=43/9. Adjunk hozzá mindkét oldalhoz 2*q*r tagot, ekkor

q^2+2*q*r+r^2=43/9+2*q*r

A bal oldalon így egy teljes négyzet van, nevezetesen (q+r)^2:

(q+r)^2=43/9+2*q*r

Így már tudjuk használni a Viéte-formulákat; q+r=-(p-1)/3, q*r=-2/3 így

(-(p-1)/3)^2=43/9-2/3 |összevonás a jobb oldalon

(-(p-1)/3)^2=37/9 |gyökvonás (definíció szerint)

|-(p-1)/3|=gyök(37)/3

Két lehetőség van; vagy

-(p-1)/3=gyök(37)/3, erre p=1-gyök(37) adódik, vagy

-(p-1)/3=-gyök(37)/3, erre p=1+gyök(37).

Az ellenőrzést rád bízom.