El tudná nekem valaki magyarázni, hogy miért így van?

Így szól a nevezetes azonosság:

a²-2ab+b²=(a-b)²

A feladat szerint ez van:

x²-7x+10. Vizsgáljuk meg az első két tagot, a +10-et most hagyjuk, tehát x²-7x

Az első két tagot vizsgálva megtudhatjuk, hogy mi az "a" és mi a "b":

a = x (mert x² van az "első" helyen és a nevezetes azonosságban a²-tel kezdtünk.)

b = 3,5 (mert 7x van a "második" helyen és a nevezetes azonosságunk szerint 2ab-nek felel meg ez. Az a-ról tudjuk, hogy x, azaz 2bx alakunk maradt, a feladat szerint pedig "7x" szerepel itt. Akkor 2b=7, vagyis b=3,5.

Ekkor felírhatjuk a nevezetes azonosság szerint:

x²-7x(+ valami) = (x-3,5)²

Most visszaszámolva a kapott értéket:

(x-3,5)²=x²-2*3,5*x+3,5²=x²-7x+12,25

vagyis az (x-3,5)² az x²-7x+12,25-tel egyenlő, de nekünk csak az kell, hogy x²-7x-szel legyen egyenlő. Vagyis le kell vonnunk belőle 12,25-öt. Így megkapjuk, hogy:

x²-7x=(x-3,5)²-12,25

A feladatban még ott volt egy +10 is a végén, így a teljesség "igényével":

(x-3,5)²-12,25+10, vagyis:

x²-7x+10=(x-3,5)²-2,25

De ez még mindig "gyanús" :) és sokkal szebb alakra lehet hozni:

Ugyanis feltűnik, hogy az első helyen a² alakú értékünk van [(x-3,5)²], valamint ebből az értékből kivonunk valamit. Ekkor felmerülhet az a²-b² azonosság, tehát vizsgáljuk meg a 2,25-öt, hogy vajon minek lehet a négyzete. Gyökvonással megkapjuk, hogy bezony szép értéknek a gyöke, ugyanis 1,5²=2,25.

Írjuk fel immár így:

(x-3,5)²-2,25=(x-3,5)²-1,5²

Ebből már látszik az a²-b² alak, amelyről tudjuk, hogy (a-b)(a+b), tehát:

(x-3,5)²-1,5²=(x-3,5-1,5)(x-3,5+1,5)=(x-5)(x-2)

Vagyis szorzattá alakítottuk az x²-7x+10 értéket, mely a számolásunk szerint pontosan megegyezi (x-5)(x-2)-vel.

Ellenőrzésként végezzük el a szorzást!

(x-5)(x-2)=x²-5x-2x+10=x²-7x+10 //Ez volt a kiindulás, a számolásunk helyes.