Hogyan tudom meghatározni egy kör és egy egyenes távolságát?

Ha a kör és az egyenes metszik egymást, akkor a távolság nulla. Ha nem metszik, akkor pedig:

Először is a kör középpontjából merőlegest állítasz az egyenesre. Ha az egyenesed meredeksége 3/4 mint a példádban, akkor a merőleges meredeksége -4/3 lesz, azt már csak el kell tolni úgy, hogy a kör közepén menjen át.

Az így kapott egyenes és az eredeti egyenes egyenleteinek közös megoldásával megkapod a metszéspontjukat. A metszéspont és a kör középpontja közti távolság mínusz a kör sugara lesz a két alakzat távolsága.

Pont és egyenes távolságának meghatározására egy fokkal közvetlenebb módszer, hogy felírjuk az egyenes „normált egyenletét”, azaz 0-ra rendezzük, valamint x és y együtthatójának négyzetösszegét 1-re normáljuk, majd az egyenlet bal oldalát függvényként kezelve behelyettesítjük a pont koordinátáit. Az így kapott kifejezés értékének abszolút értéke lesz a pont távolsága az egyenestől. (Oké, ez most hosszúnak tűnik, de csak azért, mert minden elemi lépést részletesen leírtam.) A konkrét esetben az egyenlet 0-ra rendezve:

3/4*x – y – 8 = 0,

x és y együtthatójának a négyzetösszege

(3/4)^2 + (–1)^2 = 25/16.

Ennek a négyzetgyökével osztva az egyenlet

3/5*x – 4/5*y – 32/5 = 0.

Helyettesítve a kör középpontjának koordinátáit a bal oldalba:

3/5*0 – 4/5*3 – 32/5 = –44/5,

Tehát a középpont és az egyenes távolsága 44/5 lesz, ebből kivonva a kör sugarát, ami ugye gyök(25) = 25/5, éppen 19/5 = 3,8 adódik, ami pozitív, tehát ez lesz a kör és az egyenes távolsága.

Még az is egy lehetőség, a pont és egyenes távolságának meghatározására, hogy a 25 helyére beírsz egy r^2 paramétert, és keresed, hogy r mely értékére lesz az egyenleted diszkriminánsa 0 (ugye y helyére beírhatod, hogy 3/4*x – 8, és akkor már csak 1 egyenleted van).