Adottak egy háromszög csúcsainak koordinátái (a síkon). Milyen módszerrel, algoritmussal lehet eldönteni, hogy a háromszögön belül van-e az origó?

Érdekes kérdés.

Áttanulmányozva néhány esetet rá lehet jönni, hogy szükséges feltétel, hogy a háromszög három csúcsának három különböző negyedben kell lennie (hogyha valamelyik koordináta 0, akkor az mindkét (az origó esetén mind a négy) negyedbe besorolható), a pontok elhelyezkedése a koordinátákból egyértelműen (és könnyen) meghatározható. Tovább gondolva arra is rá lehet jönni, hogy az átellenes (1-3 és 2-4) negyedekben elhelyezkedő pontok által meghatározott egyenesé a kulcsszerep; ez az egyenes (mint általában az összes) a síkot két részre bontja, és hogyha a háromszög harmadik pontja és az origó azonos félsíkra esik (ha az origó az egyenesen van, nos, akkor definíciófüggő az, hogy mi számít a háromszögön belül levésnek), akkor a háromszögön belül lesz az origó. Ezt is ki tudjuk számolni; felírjuk az előbb említett egyenes egyenletét, majd a harmadik pontra és az origóra fektetett egyenes egyenletét, majd az így kapott egyenesek metszéspontját meghatározzuk. Ezek után kiszámoljuk a harmadik pont és az origó, valamint a harmadik pont és a metszéspont távolságát; hogyha utóbbi hossz nagyobb (vagy egyenlő, ez az előbb említett definíció függvénye), akkor egy síkon van a két pont, így a háromszögön belül lesz az origó, egyébként kívül.

Ha tetszőleges pontra akarjuk ugyanezt megtudni, akkor 0. lépésként, erre a feladatra visszavezetve, az adott pontot eltoljuk az origóba, és ugyanazzal a vektorral eltoljuk az összes többit is, ekkor megint az a kérdés, hogy a háromszögön belül van-e az origó, és mivel az eltolás hossztartó, szögtartó és iránytartó leképezés, ezért az eredetire is igaz lesz az, ami az eltoltra.

Írjuk fel egy egyenes egyenletét ax+by+c=0 alakban.

Ha valamilyen P és Q pont koordinátáit ax+by+c -be helyettesítve

azonos előjelű számokat kapunk, akkor a P és Q az egyenesnek ugyanarra az oldalára esnek,

ha különböző előjelű számokat kapunk, akkor P és Q pontokat elválasztja az adott egyenes.

(0 esetén az illető pont épp illeszkedik az egyenesre.)

A (tegyük fel, valódi) Δ csúcsai A,B,C; a kérdéses pont: P.

1)

Írjuk fel az AB egyenes egyenletét a fenti alakban, helyettesítsük be C-t és P-t,

ellenkező előjeleket kapva P nincs a Δ-ben.

2)

Írjuk fel a BC egyenes egyenletét a fenti alakban, helyettesítsük be A-t és P-t,

ellenkező előjeleket kapva P nincs a Δ-ben.

3)

Írjuk fel a CA egyenes egyenletét a fenti alakban, helyettesítsük be B-t és P-t,

ellenkező előjeleket kapva P nincs a Δ-ben.

Ha mindhárom esetben azonos előjelek jönnek ki, akkor P a Δ-ben van.

(Ha valamelyik esetben ± helyett 0 jön ki akkor csak értelmezés kérdése, hogy a Δ határát hová soroljuk.)