Egy pizza futárszolgálat a 26cm átmérőjű kör alakú pizzát papírdobozban szállítja. a) Ha a papírdoboz szabályos háromszög alapú, akkor legalább mekkora ennek a doboznak az alapéle?

B Google, henger felülete.

A Google, háromszögbe írható kör

a) A kör átmérője a szabályos háromszög magassága, ami ugyan akkora derékszögű háromszögre osztja az eredeti háromszöget. Legyenek az eredeti háromszög oldalai x hosszúságúak. A magasságvonal megfelezi a háromszög egyik oldalát, ezek a derékszögű háromszögek befogói (x/2), a másik befogó a magasság, azaz a kör átmérője (d), az átfogó pedig a nem darabolt oldal (x). Így a pitagorasz tétel szerint x^2=(x/2)^2+d^2. A doboz alapéle > x, mert ha x, akkor pont beleszorul a pizza.. :)

b) A kör átmérője a doboz alapéle.

c) Ki kell számolni a háromszög és a négyzet területét, a pizza vastagsága pedig állandó, úgyhogy az nem számít. De nyilván a háromszögé lesz kisebb, így azt a csomagolási módot kell választani.

"A kör átmérője a szabályos háromszög magassága,..."

Ez nem igaz, innen pedig borul az egész...

Húzzunk be két (belső) szögfelezőt, ezek metszéspontja lesz a beírt kör középpontja. Ebben az esetben találunk egy derékszögű háromszöget, ahol az egyik befogó hossza a kör sugara, vagyis 13 cm, az ezzel szemközti szög 30°-os, mivel a szabályos háromszög minden belső szöge 60°-os, és szögfelezőket húztunk be. Ekkor ki tudjuk számolni ennek a derékszögű háromszögnek a másik befogóját (x):

tg(30°)=13/x, vagyis 1/gyök(3)=13/x, erre pedig x=13*gyök(3) adódik. Mivel szabályos háromszög esetén a szögfelező és az oldalfelező merőleges egybeesik, ezért az előbb kiszámolt az alapél fele, tehát ennek kétszerese lesz az alapél, tehát 26*gyök(3) cm hosszú a doboz alapéle.

A b)-nél egyértelműen az alapél megegyezik a kör átmérőjével.

A c)-nél egy kicsit összetettebb a helyzet; tudni kellene, hogy milyen magas a pizza. Ha feltesszük, hogy t magas, akkor a dobozok felszíne

-háromszög alappal: 2*(26*gyök(3))^2*gyök(3)/4 + 3*26*gyök(3)*m = 1014*gyök(3) + 78*gyök(3)*m

-négyzet alappal: 2*26^2 + 4*26*m = 1352 + 104*m

Meg kell nézni, hogy milyen m esetén lesz a háromszöges nagyobb:

1014*gyök(3) + 78*gyök(3)*m >= 1352 + 104*m, erre azt kapjuk:

[link]

hogy m>=-13 (természetesen egyszerű egyenletrendezéssel is kijön, de itt átláthatóbb). Mivel m értelemszerűen nagyobb 0-nál, ezért ez azt jelenti, hogy a háromszögeshez több papír kell, tehát a négyzet alapú doboz mindig olcsóbb.