Az ABC háromszög oldalait mekkora szakaszokra osztják a beírt kör érintési pontjai, ha AB=5 cm, BC=6 cm és AC=9 cm Mi a megoldás illetve hogyan oldajam meg?

A megoldás attól függ, hogy mit tanultál már?

Hányadikos vagy? Mit tanultok mostanában?

A Héron-képletet tanultátok-e?

T=négyzetgyök[s(s-a)(s-b)(s-c)],

[link]

T=r*s (r a beírt kör sugara)

Elnézést! A délelőtti válaszaimban valami bonyolult feladatra gondoltam. Nem kell ehhez Héron-képlet.

Itt van az egyszerű megoldás:

[link]

Ugye, így érthető? Meg tudod adni a válaszokat?

Ezt a feladatot érdemes kicsit körüljárni, mert tanulságos megoldást kapunk a végén.

Fogalmazzuk át a feladatot: Mekkora az (a, b, c) háromszög csúcsaiból a beírt körhöz húzható érintők hossza?

Legyenek ezek az érintők

x - az A csúcsból

y - a B csúcsból

z - a C csúcsból

húzható érintő.

Írjuk fel ezekkel a háromszög kerületét és oldalait.

***A háromszög kerülete***

Mivel minden csúcsból két (azonos hosszúságú) érintő húzható, ezért

K = 2x + 2y + 2z

Kiemelve

K = 2(x + y + z)

Kettővel osztva

K/2 = x + y + z

A bal oldal a háromszög fél kerülete (s), így

s = x + y + z

***A háromszög oldalai***

a = y + z

b = x + z

c = x + y

Most vonjuk ki egyenként a fél kerületből a háromszög oldalait

'a' oldal

s = x + y + z

a = y + z /-

s - a = x

======

'b' oldal

s = x + y + z

b = x + z /-

s - b = y

======

'c' oldal

s = x + y + z

c = x + y /-

s - c = z

======

Összesítve

A csúcsokból húzható érintők vagy másként: az érintési pont által felosztott oldalrészek hossza:

x = s - a

y = s - b

z = s - c

A tétel szövegesen is megfogalmazható:

Egy háromszög valamely csúcsából a beírt köréhez húzható érintő hosszát megkapjuk, ha a háromszög fél kerületéből kivonjuk a csúccsal szemközti oldal hosszát.

A matematika nyelvén

Legyen

t - a csúcsból húzható érintő hossza

ekkor az általános képlet:

t(i) = s - i

ahol i € (a, b, c)

Pl. ha i = b

akkor a képlet szerint

t(b) = s - b

Úgy gondolom, hogy nem bonyolult ez a szabály, és adott esetben gyorsabb, elegánsabb megoldást lehet vele elérni.

Pl. hogyan oldanád meg a következő feladatot:

Adott egy √2, √3, √5 oldalhosszakkal rendelkező háromszög.

Mekkora a beírt kör sugara?

Sok sikert a használatához!

DeeDee

*********