Ha a halmaznak nincs definíciója, akkor honnan lehet tudni, hogy mi is az?

"Végtelen sok pontból álló (pont)halmaz, ahol mindegyik pont csak is a két mellette lévő ponttal érintkezik, és minden második pont egy pontnyira van egymástól (ha ez teljesül, akkor a sok pont egy egyenest fog alkotni, és nem egy kacskaringózó vonalat)"

Egy kacskaringozó vonalra ezek az állítások tökéletesen illenek. Akkor ez mitől egyenes? Sőt, egy körről is elmondhatjuk ezt. Vagy egy háromszögről. A körben is végtelen sok pont van. De az egy pontnyi távolság nem igazán értelmezhető.

Ha nincs is hivatalos, teljesen általános definíció, adott alkalmazásodhoz mindig alkothatsz magadnak.

Például, halmazra használhatod ezt:

előre meghatározott szempontok szerinti csoportosítás.

- Egyenesre, euklidészi geometriai fogalomként:

egydimenziós, végtelen kiterjedésű alakzat, mely helyzettel rendelkezik, irányultsággal nem

- a pont kiterjedés nélküli geometriai alakzat, melynek csak helymeghatározása lehetséges, helyzete, irányultsága nincs

- a szakasz egydimenziós, nullánál nagyobb kiterjedésű alakzat, mely helyzettel rendelkezik

A félegyenest már trükkösebb megfogalmazni, bejön az irányultság fogalma is, ugyanígy vektornál is.

"A pontnak van definíciója:

Olyan objektum, amelynek nincs kiterjedése, vagy a kiterjedése a legkisebb egységnyi. Tehát ha egy rendszerben az 1 a legkisebb egység (pl. 0,5 már nem létezik, vagy nincs értelmezve), akkor a pont kiterjedése nyilván 1 lesz. Láthatjátok, lehet definiálni a pontot."

A pont a geometria egyik alapfogalma. Nem definiáljuk egy axióma. Egy helyet jelöl, amelynek kiterjedése nincs (vagyis nulla dimenziós), és mérete is minden irányban nulla. Ez viszont értelmezés és nem definíció. A "vagy a kiterjedése a legkisebb egységnyi" pedig diszkrét geometriában érvényes. (Bolyai János óta tudjuk hogy nem a geometria van hanem a geometriák vannak, de ez messzire vezetne.)

"A vonal definíciója:

Végtelen sok pontból álló (pont)halmaz, ahol mindegyik pont csak is a két mellette lévő ponttal érintkezik, és minden második pont egy pontnyira van egymástól (ha ez teljesül, akkor a sok pont egy egyenest fog alkotni, és nem egy kacskaringózó vonalat). Ami mondjuk azért paradoxon, mert két egymással érintkező pont közötti távolság is nulla, meg maguknak a pontoknak is nulla a kiterjedése. Bár az a személyes véleményem, hogy ha tényleg nulla lenne a pontok kiterjedése, akkor ha végtelen sokan lennének sem alkotnának egyenest. Hiszen ha végtelen sokszor adunk össze nullákat, akkor is nullát kapunk. Ezért szerintem a pontok kiterjedése nem nulla, csak végtelenül megközelíti a nullát. De kiterjedése attól még van, ami nagyobb mint nulla."

Érdekes amit írsz, de ez nem igaz. A geometriában nem vonalnak hanem egyenesnek nevezik amit mondani akarsz. Az egyenes szintén axióma azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra. Nincs olyan ,hogy egy egyenes minden második pontja vagy az egyenesen lévő pont közvetlen pont szomszédja. Egy egyenes bármely két különböző pontja között van pont. Úgy mint ahogy bármely 2 valós szám között van valós szám. A -"ha végtelen sokszor adunk össze nullákat, akkor is nullát kapunk"- állításba meg ott a logikai hiba, hogy a végtelennel próbáltál (szorzás) műveletet végezni. Önmagába simán úgy, hogy végtelen nem lehet műveleteket végezni. Ha konkrétan megmondjuk, hogy milyen végtelen (ugyanis nem egyfajta van) akkor beszélhetünk arról, hogy milyen értelemben milyen műveletek értelmezhetőek rajta. A pont axióma szinten minden irányba nulla méretű. Az egyenes szintén axiómaszinten pontokból áll méghozzá végtelen sokból és mindkét irányba végtelen hosszú. Nem mint a pontok nulla hosszának összegéből kijövő végtelen hosszúságot kell elképzelni az így kijövő az egyenest. Hanem mint pontok halmazának például. Az egyenesnek, két pontja által határolt része a szakasz. Akármilyen hihetetlen, de bármely rövid szakasz ugyanannyi pontot tartalmaz mint az egész egyenes. A régi időkbe amikor még számolni nemigen tudtak úgy döntötték el például hogy kinek van több birkája, hogy két elkülönített részen egyesével engedték be a birkákat egyszerre. Ha mindkettőjüknek egyszerre elfogyott akkor egyforma sok volt mindkettőnek. Ezzel tulajdonképpen egy bijektív függvényt definiáltak úgy hogy nem is tudtak róla. Pl. épp amikor bement a Jóska birka akkor ment be a Pista birka. Matematikailag f(Pista)=Jóska és g(Jóska)=Pista ahol g függvény f inverze. Visszatérve a szakasz és egyenesre ezt az ősrégi módszert lehet általánosítani végtelen halmazokra is. Pont a végesről a végtelenre általánosítás miatt nem azt mondjuk hogy két halmaz elemszáma megegyezik hanem számossága megegyezik ugyanis végtelen halmazok esetén nem beszélhetünk elemszámról, de számosságról igen. Definíció szerint két halmaz számossága akkor és csak is akkor egyezik meg ha létezik közöttük bijektív leképezés. Továbbá ilyen finomságok vannak hogy az egész számok és a szakasz pontjai között nem létezik bijektív leképezés --> pongyolán megfogalmazva végtelen sok egész szám van, de még sem elég sok hogy egy szakasz minden pontját felcímkézzük egy egész számmal. Vagyis a pontok sokasága még végtelenebb.

Azért hogy a halmaznak nincs definíciója még lehet értelmezni, körülírni. Bizonyos dolgok/objektumok összessége egy halmaz, de ezt már körülírták itt jól előttem, nem megyek ebbe bele. Megjegyzés: Úgy érzi az ember hogy a halmaz az egy olyan valami amibe mindent bele lehet dobálni, hogy na legyen az ami egy halmazt alkot. Ugyan nincs semmi korlátozás mesterségesen létrehozva hogy na ennél több eleme nem lehet egy halmaznak, lehet végtelen sok eleme meg még annál is végtelenebb, de mégis vannak olyan matematikai konstrukciók melyek mégis túl nagyok, hogy beférjenek egy halmazba.

Ezzel most nagyon mellélőttél, mert a 0,999999.... valójában pontosan 1. Erre van egy nagyon egyszerű bizonyítás is; legyen A=0,999999..., ekkor 10*A=9,999999..., ekkor ha a kettőt kivonjuk egymásból: 9*A=9, vagyis A=1. És ez nem olyan bizonyítás, hogy valahol elvi hiba van benne.

Azzal pedig, hogy "végtelenül kicsi" meg hasonlókkal csak annyi a probléma, hogy ha feltesszük, hogy egy k szám a nagysága (ami "nagyon-nagyon-nagyon-... kicsi"), akkor egyrészt ezt a k mennyiséget milyen irányból mérhetjük, mert ha egy irányból, akkor végtelen irányból mérhető, ekkor viszont valójában egy kört kapunk, ami meg, ugye, síkidom, következésképp a pont egy síkidom? Ha pedig csak 1 irányban mérhető (amit mi jelölünk ki), akkor meg szakasz, tehát pont=szakasz?