Ha a halmaznak nincs definíciója, akkor honnan lehet tudni, hogy mi is az?

Pont az a szép, hogy nem kell tudni, mi is az, így bármi lehet. Ettől ugyan elvontabb lesz a matematika, viszont sokkal több mindenre rá lehet húzni.

Például az egyeneses példánál: ha van egy 7 tagú társaság, akkor lehet azt mondani, hogy legyenek ők 7 egyenes. Ha* tudunk hozzájuk pontokat definiálni úgy, hogy bármely két egyenesnek pontosan egy közös pontja lesz, és bármely két ponton pontosan egy egyenes megy át (például 3-3 tulajdonságukat vesszük, és bármely két embernek van közös tulajdonsága,…), akkor ők 7-en egy projektív geometria 7 egyenese lesznek, és érvényesek lesznek rájuk a véges projektív geometria tételei. Így a matek, amit kitaláltunk, az nem csak vonalakra jó, hanem másra is.

[link]

*A „ha” a matematikában fontos dolog.

Hát, szerintem erre az "így definiáljuk az egyenest" című történetre gyúrjál még egy kicsit, mert amit leírtál, azt nem csak az egyenes tudja kielégíteni...

Egy 7 éves gyereknek meg úgy magyarázod el, hogy például a játékait ha belerakjuk egy dobozba, és ráírjuk, hogy "xy játékai", akkor a dobozban található játékok egy halmazt alkotnak, a halmaz neve pedig "xy játékai"; ezt papírra is tudjuk vetni a matematikában már bevezetett jelölésrendszerrel. Ha ezt sikerült megértenie, akkor az is elmondható neki, hogy igazából ha egymás mellé írunk dolgokat ilyen módon, akkor az olyan, mintha egy képzeletbeli dobozba beleraktuk volna őket, tehát ugyanúgy halmazt alkotnak, mint a játékai.

Viszont emberek is alkothatnak halmazt, például ő és az osztálytársai is egy halmazt alkotnak, ennek a halmaznak a neve "amelyik osztályba jár". Akkor el lehet mondani neki, hogy ez a halmaz azért praktikus, mert... Ugyan definiálni nem tudjuk, de nagyon jól körül lehet írni.

> „A pontnak van definíciója:…”

Nem azt mondtuk, hogy nem lehet definiálni (én is definiáltam az egyeneseket a hozzászólásomban, csak nem úgy mint valami, aminek nincs szélessége, hanem a 7 fős társaság egyik tagjaként). Teljesen általános definíciója nincs, hogyha valami új dologgal találkozunk, akkor arra is ráhúzhassuk. Ha csak a kiterjedés nélküli objektumokat tekintjük mindig, vagy csak a konkrét 7 fős társaságot, akkor azzal beszűkítjük a gondolkozásunkat.

> „Ezért én úgy gondolom, hogy az olyan magyarázat, amely képes megértetni egy fogalmat, az már megfelel egy definíciónak.”

Egyfajta lehetőség a magyarázásra, hogy sok példát mutatunk rá, másik fajta, hogy az alaptulajdonságaikat soroljuk fel (ez utóbbi esetben nézd meg a halmazelmélet axiómáit valahol, az előbbiben pedig arra gondolj, hogy hogyan tanultad meg például, hogy mi az asztal – nem hiszem, hogy anyukád az értelmező szótárból olvasta fel neked a meghatározást, és azt magoltad be).