Mennyi az alábbi kettős integrál értéke?

#1

Ez a feladat megoldásának szempontjából teljesen lényegtelen. Ugyanis mindegyik egyetemen ugyan úgy kell kiszámolni a kettős integrált.

Szia.

Az a gyanúm, hogy az értéke nulla. Aztán lehet, hogy valamit nagyon benéztem, ha így van, akkor elnézést, majd jön valaki és kijavít.

Abból indultam ki, hogy ez a fv. elvileg "páratlan" - jó többváltozósnál ilyet nem biztos, hogy mondunk - azaz ha egy x vagy y tengelyre tükrösen szimmetrikus alak felett integrálunk, akkor nullát kapunk eredményül, mert az egyik oldala pont annyi terfogatot ölel fel, mint a másik, csak a minusz egyszeresét. Bízom benne érthetően írtam. A tévedés jogát fenntartom. Remélhetőleg jön valami profi, és készséges magyarázatot ad a megoldást illetően.

#1-s vagyok:

#2-nek üzenem, hogy nekem fontos, mert így tudnám mennyire kell együtt éreznem. :D

Amúgy át kell térni polárkoordinátákra, ekkor a nevezőből pont az r^2-t hozod ki, amivel ahogy nézem tudsz is majd egyszerűsíteni. A halmazod egy kör, amin végzed az integrálást, ezért indokolja is a helyzet ezt a helyettesítést, a sugár 3, a szög pedig 2pi, hiszen teljes kört nézünk.

Az integrálási tartomány most egy körtartomány (az origó középpontú, 3 egység sugarú kör), így célszerű áttérni polárkoordinátákra. A helyettesítést bármelyik könyvben megtalálod:

-> x=r*cosfí

-> y=r*sinfí

-> Jacobi-determináns abszolútértéke=r

Az integrálási tartomány ezzel transzformálódik egy téglalaptartománnyá (amin sokkal könnyebb integrálni), mivel:

-> 0<=r<=3

-> 0<=fí<=2pí

Tehát az integrál így fog kinézni:

INT (0-2pí) INT (0-3) [(2*r*cosfí*r*sinfí)/r^2]*r drdfí

INT (0-2pí) INT (0-3) r*sin2fí drdfí

INT (0-2pí) [(r^2/2)*sin2fí] (0-3) dfí

INT (0-2pí) 9/2*sin2fí dfí

[(-9/4)*cos2fí] (0-2pí)

(-9/4)*(1-1)=0