Mi a bizonyítása annak, hogy egy síkidomnak annál nagyobb a területe, minél jobban hasonlít a körre?

Az azonos kerületű síkidomok közül a körnek van a legnagyobb területe. Evidens, hogy minél jobban hasonlít rá a síkidom, annál nagyobb lesz a területe.

Gondolom erre szeretett volna rákérdezni a kérdező.

maci

És két síkidom közül melyik hasonlít jobban a körre?

Észlény!

Általános síkidomokra nagyon bonyolult bizonyítani, de sokszögekre könnyű.

Sokszögekre van egy képlet, ami csak a köré írható kör sugara és szögek (oldalak) számának függvényében fejezi ki a területet:

[link]

Ezen látszik, hogy n függvényében monoton növekszik. Tehát csak a területképlet bizonyításának kell utána nézni.

A feltevés igaz és matematikailag (sőt paraszti logikával is) könnyen bizonyítható.

De nem egészen így igaz, hisz mi a négyzet sugara?

két megfogalmazás is létezik.

1. a négyzet sugara az oldalának a fele, ekkor ugyan akkora sugarú kör és ugyan akkora sugarú négyzet esetén a kör köré írható négyzetet kapjuk és a négyzet területe lesz a nagyobb.

2. a négyzet középpontól való legtávolabbi pontja (a négy sarok) és a négyzet közepe közti távolságot értjük sugárnak, ekkor a kör belsejébe írható négyzetet kapjuk, ekkor kisebb lesz a négyzet területe. (ez az általánosan elfogadott értelmezés)

Fontos megjegyezni tehát hogy köré vagy belé írható köröl beszélünk.

Minél több szögből álló sokszöget használunk annál jobb lesz a területlefedése a kör belsejében a körhöz viszonyítva.

Ez fordítottan igaz a kör köré írható síkidomok esetében, mert ott a háromszög a legnagyobb területű.

matematikailag be lehet bizonyítana hogy mindig az egyelő oldalú síkidom lesz legnagyobb területű.

Továbbá a legjobb területkitöltéssel rendelkező síkidom az amely legjobban hasonlít a körülötte lévő síkidomra, tehát egy köralakú dobozba több üveggolyót lehet tenni mint kockacukrot.

Viszont egy négyzetes dobozba több kockacukrot tehetsz mint üveggolyót.

Az indoklás: minél jobban hasonlít a körülötte lévő síkidomra a bennlévő síkidom, annál jobban (több ponton) illeszkednek egymáshoz ( kisebbek lesznek a találkozásuk mentén lévő "rések" amit nem tölt ki, ezért kevesebb terület marad fedetlen = annál nagyobb lesz a bennlévő síkidom területe.

Remélem erre gondoltál.

Fogj egy körzőt és próbálgasd, írj fel rá néhány területképletet és ezeket kb egy általános iskolai 6.-7. osztályos 1-2 óra alatt levezeti, ekkor még érteni is fogod hogy mi miért van így.