Miért volt kissé rendetlen, aki kitalálta a komplex számokat?

> „Miért volt kissé rendetlen, aki kitalálta a komplex számokat?”

Mert a komplex számok felett nem lehet rendezést definiálni:

[link]

> „Csak én nem értem?”

Sok mugli él a világon, szóval nem vagy egyedül.

Jogos, nem mondtam meg, mi az a rendezés, illetve most a „teljes rendezésre” gondoltam (és Sheldon is arra gondolt). A linken amúgy ott van, hogy mi az elvárás:

Egy < relációt akarunk a komplex számok felett, hogy bármely a, b, c komplex számokra

1. Vagy a < b, vagy b < a, vagy a = b (ezt biztos tudja a lexikografikus rendezés);

2. ha a < b, akkor a + c < a + b;

3. c < 0-ra, ha a < b, akkor a*c < b*c.

(a 2. és 3. közül valamelyiket biztosan nem.)

(Amúgy a lexikografikus rendezést is el tudom képzelni többféleképpen. De szerintem a linken látható gondolatmenetből kiderül, hogy hol romlik el.)

Először is: amikor az előző (21:22-es) válaszomat írtam, akkor valahogy nagyon bénán sikerült gépelnem, így a '<' jelek következetlenül szerepelnek, illetve néha fordítva írtam az egyenlőtlenséget, ami gáz. Az eredeti linket tessék nézni.

Aztán: oké, hogy a komplex számok és a valós számok között létre lehet hozni bijekciót, és akkor az tudni fogja az első pontot (a lexikografikus rendezés, ha ügyesen csináljuk, lehet ilyen bijekció, de figyelni kell, hogy ez hogyan megy, mert ez se triviális szerintem).

Másrészt az nem elég, hogy olyat találsz, ami az egyik pontot tudja, olyan kell, ami mind a hármat egyszerre teljesíti.

Harmadrészt a 2. és 3. pontban szereplő + és * a szokásos komplex összeadást és szorzást jelöli, a 0 pedig a komplex nullát. Ha a jól rendezésnél ezek a műveletek megváltoznak, akkor megint csak gond van.

Az meg a sokadik, hogy a komplex számok rendezésével szemben támasztott elvárásain műveleteket is tartalmaznak (például elvárjuk, hogy az egyenlőtlenség igaz maradjon, ha mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk), még a sima halmazok teljes rendezésénél az sem biztos, hogy egyáltalán értelmezünk bináris műveleteket:

[link]

[link]

Vesd össze:

[link]

Szóval most nem egyszerűen egy halmazt akarunk teljesen rendezni, hanem egy testet.

Bocsánatot kérek, tényleg elég sok minden félreérthető volt. De a lényeg az, hogy bár a komplex számok halmaza rendezhető (teljesen is és jól is, mint minden halmaz), a komplex számok teste (ami izgalmasabb és hasznosabb, mint a komplexek halmaza önmagában, meg arról is lehet filózni, hogy ha nincsenek köztük műveletek, akkor nem is igazán számok, no mindegy…) már nem.