Bizonyítsd be, hogy van olyan két irracionális szám, amelyre teljesül, hogy a^b = racionális szám?

gyök10 irrac, mert ha nem lenne az, akkor p/q-val lenne egyenlő (ahol p és q egészek) - de akkor

(p^2)/(q^2) = 10 lenne, azaz 10*p^2=q^2

ami lehetetlen, mert a baloldali egész szám prímfelbontásában a 2 páratlan kitevőn szerepel és jobboldalon levő egész prímfelbontásában páros kitevővel szerepel - ez ellentmondás.

lg9 is irrac, mert ha racionális lenne, akkor p/q-val lenne egyenlő (ahol p és q pozitív egészek, mivel lg9 pozitív) - de akkor

10^lg9=10^(p/q) lenne, azaz

9=10^(p/q) lenne, vagyis 9^p=10^q.

Ez nem lehet, mert a bal oldali egész páros, a jobb oldali meg páratlan.