Ha -1 a harmadikon egyenlő -1 gyel, akkor köbgyök -1 is egyenlő -1 gyel?

Nos. A négyzetgyök az tiszta sor, mert ott definitíve azt a *nemnegatív* számot értjük egy szám négyzetgyöke alatt, aminek a négyzete a gyök alatti szám. Tehát √4 = 2, viszont √4 ≠ -2, még akkor sem, ha történetesen (-2)²=4, azaz az x²=4 egyenletnek a -2 is megoldása.

Páratlan hatványkitevőre elméletileg ki lehet terjeszteni a gyökvonás műveletét, lehet azt mondani, hogy ³√(-8) = -2.

A probléma igazából ott kezdődik, ha a gyökvonást hatványként írjuk fel:

³√x = x^(1/3)

Eddig oké, de mit kezdjünk azzal, hogy (-8)^(2/6)?

Egyrészt egyszerűsítheted a törtet, és kijön a -8 köbgyöke:

(-8)^(2/6) = (-8)^(1/3) = ³√(-8) = -2

Másrészt alkalmazhatod a következő összefüggéseket is:

(-8)^(2/6) = ⁶√[ (-8)² ] = ⁶√64 = 2

Vagy alkalmazhatod a következő összefüggést is:

(-8)^(2/6) = [ ⁶√(-8) ]² = [???]² = ???

Az azonosságokon keresztül három értelmezése lett hirtelen a (-8)^(2/6) kifejezésnek: -2 , +2 , nincs valós megoldása.

A gyökvonás alapból nemnegatív számokra jelöl egyértelmű műveletet. Persze ha neked kényelmesebb a jelölés, kiterjesztheted a negatív számokra is, ha a hatványkitevő páratlan, de ilyen esetben célszerű tisztázni, hogy te pontosan hogyan fogod használni ezt a jelölést, mit takar számodra a művelet, és mi szavatolja, hogy ez a fajta értelmezés nem vezet fals eredményhez.

Nem.

Mert valaminek a 3-adik hatványa és az 1/3-adik hatványa nem ugyanaz a művelet

Igen.

-1 ^ 3 = -1

-1 ^ (1/3) = -1

Ez páratlan fgv, nincs sok mindent magyarázni.