MATEKOSOK! HA a3 (harmadikon) +b3 (harmadikon) =c3 akkor az abc háromszög hegyesszögű/derékszögű/tompaszögű? Miért?

Derékszögű.

Mert Pitagorasz tétele csak a derékszögű háromszögekre érvényesül, miszerint egy derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével.

alg. azonosság:

a3+b3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

ekkor

c^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

c*c^2 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

cos-tétellel:

c*(a^2+b^2-2abcosgamma) = (a+b)(a^2-ab+b^2)

mivel a+b>c, ezért:

a^2+b^2-2abcosgamma > a^2-ab+b^2

-2abcosgamma > -ab

cosgamma < 0,5

ebből egyelőre csak annyi következik, hogy gamma nagyobb 60 foknál....

a hegyesszögség bonyolultabb dolog:

vegyük mindkét oldal négyzetét:

c^6=(a^3+b^3)^2

a bal oldali kifejezést megpróbáljuk a^2+b^2-hez viszonyítani:

(a^3+b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6

másrészt:

(a^2+b^2)^3 = a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6 =

= a^6 + b^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4

emiatt:

(a^3+b^3)^2 = (a^2+b^2)^3 - 3a^4b^2 - 3a^2b^4 + 2a^3b^3 =

= (a^2+b^2)^3 - a^2b^2(3a^2 + 3b^2 -2ab) =

= (a^2+b^2)^3 - a^2b^2[(a-b)^2 + a^2 + b^2]

a legutóbbi zárójelben a számok összege pozitív, ezért:

(a^3+b^3)^2 > (a^2+b^2)^3

vagyis c^6 > (a^2+b^2)^3

ebből pedig: c^2 > a^2+b^2

innen lázható, hogy hegyesszögű a háromszög

Huh, parafagólem egy kicsit túlbonyolítottad:)

Osszuk mindkét oldalt c-vel: (a/c)*a^2+(b/c)*b^2=c^2

Mivel c a leghosszabb oldal (egyébként nyilván értelmetlen lenne a dolog), ezért a/c és b/c 1-nél kisebb számok. Tehát c^2 = (a/c)*a^2+(b/c)*b^2 < a^2+b^2

=> c^2 < a^2 + b^2, amire ugye a Pitagorasz-tétel alapján eldönthető, hogy hegyesszögű.