Hogy lehetne kiszámolni ezeket a faktoriálisokat?

Az utolsó kettő ugyanaz, csak n helyére n+1-et kell írni a középsőben.

Másrészt meg nyugodtan kiemelhetsz n!-t, és akkor már csak sima törteket kell összeadni, amikben a nevező másodfokú.

Részletezzem, vagy innen már megy?

Akkor emeljünk ki 1/n!-t:

1/n!*(1 + 1/(n + 1)) = 1/n!*(n + 1 + 1)/(n+1) = (n + 2)/(n + 1)!,

1/n!*(1 – n*(n – 1)) = 1/n!*(–n^2 + n + 1) = (–n^2 + n + 1)/n!.

Lényegében csak közös nevezőre való hozásról van szó. Habár attól is függ, mi a cél, hiszen konkrét kiszámítás csak adott n-esetén lehetséges.

Másrészt megjegyzem, ha meg is csináljuk a közös nevezőre hozást, még adott n-re sem feltétlenül egyszerűbb a számítást elvégezni. Sőt sokszor a fordított művelet alkalmazása hasznosabbnak bizonyul (parciális törtekre bontás).

A parciális törtek „rész” törtek. Ha van egy törted, akkor azt meg lehet próbálni felírni több tört összegeként, amik nevezőjének a fokszáma kisebb, mint az eredeti törté. (Az úgy túl egyszerű, ha csak a számlálót osztod többfelé.)

Ha rákeresel teleszkopikus összeges feladatokra (amik szoktak lenni középsuliban is egyszerűbb gondolkodtató példák), akkor ott csinálnak ilyenre példát, még ha nem is írják oda, hogy az „parciális törtekre bontás”.

Dióhéjban a parciális törtekre bontásról: Tegyük fel hogy adott két polinomod egy p(x) és egy q(x). Legyen továbbá fokszámuk rendre np és nq. Képezzük a p(x)/q(x) ún. raciomális törtfüggvényt.

Állítás: Ha np<nq, akkor a p/q törtfüggvény felírható ún. résztörtek összegeként, azaz:

p/q=p1/q1+p2/q2+...+pi/qi+...+pm/qm, ahol minden i=1,...,m esetén igaz hogy a számláló fokszáma (npi) kisebb mint np, azaz npi<np, továbbá a nevező fokszáma (nqi) legfeljebb nq értékével egyenlő, azaz nqi<=nq.

Ezt a fajta átalakítást nevezzük parciális törtekre bontásnak.

1.megjegyzés: np>nq esetén polinomosztásról beszélünk.

2.megjegyzés: np=nq eset köztes átmenet a parciális törtekre bontás és a polinomosztás közt.

Az eljárások alkalmazása: teleszkópikus sorösszegzés, integrálszámítás, Laplace-transzformáció, különleges egyenletek megoldása,stb.

> „Úgy érted az utolsóban.”

Nem. A középsőben kell az n helyére (n + 1)-et írni. Éppen azért, amit a második mondatodban írsz.

Ha az utolsóban n helyére mondjuk k-t írunk (ezzel nem változik semmi, csak nem akarok majd két különböző dolgot jelölni ugyanazzal a betűvel ugyanabban a képletben):

1/(k+1)! - 1/(k-1)!.

Legyen most k = n + 1, tehát az UTOLSÓBAN írunk (n + 1)-et ahelyett, ami eredetileg volt, ahogy te írod (de nem biztos, hogy gondolod is):

1/(k+1)! - 1/(k-1)! = 1/((n + 1) + 1)! - 1/((n + 1) – 1)! = 1/(n + 2)! – 1/n!.

Itt a középsőhöz képest az 1/n! ellentétes előjellel van, és az 1/(n – 2)! helyett 1/(n + 2)! faktoriális szerepel, tehát ez MÁS.

A középsővel eljátszva ugyanezt viszont:

1/k! - 1/(k-2)! = 1/(n + 1)! – 1/((n + 1) – 2)! = 1/(n + 1)! – 1/(n – 1)!,

ami egy az egyben az utolsót adja.

Hogy az utolsó végeredményét megkapd, pontosan ugyanezt kell csinálnod a középső végeredményével, amit talán már leírtam korábban.