Hogyan tudnám fejben kiszámolni, hogy mennyi 1:101 =?

> Hogyan tudnám fejben kiszámolni, hogy mennyi 1:101

Ugyanúgy, ahogy írásban is megtanították valamikor az általános iskola alsó tagozatában. () Nem lehetetlen fejben tartani az egészet, de kétségtelen, hogy nem árt némi gyakorlat benne.

> Hogyan tudnám szétbontani a 101-et, hogy 100-at meg 1-et kapjak

Leginkább így: 101 = 100 + 1

> … amivel könnyebben tudok majd számolni?

Az a gond, hogy ettől nem lesz könnyebb számolni. A 101-el való osztást nem tudod egy 100-al és egy 1-el való osztásra visszavezetni. Itt a legegyszerűbb, ha magát az eredeti osztást végzed el, egyszerűbb mód nincs.

Ennél a példánál talán annyit lehetne könnyíteni, hogy nem 1-et osztol 101-el, hanem 1000-et, mert ilyenkor nem kell az eredmény első 0-áit fejben tartanod.

Tehát elvégzed az 1000:101-et, majd az eredményt osztod 1000-el.

Ez elég speciális, és ilyen szempontból jó.

Pl. alkalmazva az (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 azonosságot (a=100, b=1) szorozzuk 99-cel:

1/101 = 99/(99*101) ; a nevezőben 10000-1 van, tehát

1/101 ~ 99/10000 = 0,0099 ; pontosabban: 0,009900990099...

Ez szerintem fejben is megy, gondolom másnak is. :D

prímszámoknál ugyanazt csinálod fejben, mint papíron

a többi számnál felbontod az ismert reciprokokra pl.:(1/8 =0,125, meg nem árt tudni egynéhány prímszám reciprokot)

pl tudjuk 1/6 értékét, ha tudom 1/3 és 1/2-ét

1/3 = 0,333... ez osztva kettővel = 0,1666..=1/6

Korlátozott de a legtöbb tört értéket meg lehet vele mondani, a többiét saccolni.

Kérdező, szó nincs arról, hogy az írásbeli osztás pontos eredményt adna! Ez egy óriási tévedés. Csak nagyon speciális esetekben kapjuk meg a pontos megoldást.

Ennek két oka van: Először is általános esetben a végeredmény egy végtelen tizedestört lesz. Pl. a te esetedben az 1/101 is végtelen tizedestört.

Másodszor: Szó nincs arról, hogy az írásbeli osztás egy explicit végformula lenne. Egy implicit eljárásról van szó. Az írásbeli osztás egy iterációs eljárás, azaz folyamatosan közeledünk a megoldás felé. Az 1/101-nél hiába végeznéd el az osztást, kilóméterszám írhatnád a számokat, akkor sem jutnál el a pontos megoldáshoz. (az egy dolog, hogy bizonyos számjegyek esetleg ismétlődnek, ettől az eredmény még nem pontos!).

Most tehát már megértettük, hogy az iteratív eljárások szerepe kitüntetett, nézzünk egy nagyon egyszerű (ám mély matematikai tartalommal bíró), fejben gyorsan kivitelezhető számítást a példádra.

Tehát 1/101.

Vizsgáljunk egy kissé általánosabb alakot, legyen 1/(a+1). Tegyük fel, hogy a-nak a reciproka egyszerűen számolható fejben.

Ekkor a következőt kell csinálni:

1. Kiszámítjuk 1/a értékét;

2. utána 1/a^2-et

3. majd 1/a^3-öt

.

.

.

n. kiszámítjuk 1/a^n-et.

Így tovább, minél többet számolunk, annál pontosabb lesz majd az eredmény.

Bebizonyítható ekkor, hogy:

1/(a+1)=(1/a)*[1-1/a+1/a^2-1/a^3+-...1/a^n].

Ha n értéke végtelenig megy, akkor a pontos eredményt kapjuk, egyébként közelítőt.

A példádban a=100, ezért:

1/101=0.01*(1-0.01+0.0001-...)=...

1/a-nál meg is álhatunk akár, ekkor:

1/101~=~0.01*(1-0.01)=0.01*0.99=0.0099.

Na tehát láthatjuk, hogy fejben, milyen egyszerűen kiszámoltuk az eredményt.

Ha tovább számolunk, azonnal látszik hogy még két nulla jön, utána meg ismétlődik ez a négy szám.

Így tehát bárki kiszámolhat szinte bármilyen egyszerűbb osztási példát.

Megjegyzem, habár a számítás láthatóan egyszerű, a háttérben álló matematika nem épp a legegyszerűbb, ezzel nem akartam traktálni a kérdezőt. (Taylor-sor, és konvergenciatartomány van a háttérben).