Agymenők 8. Évad 2. Részében Howard mit mondott, hogy hogyan integrálná a függvényt fejben?

A kérdéses rész eredetije:

„Do you know how to integrate X squared times E to the minus X, without looking it up? – I'd use Feynman's trick: differentiate under the integral sign.” – [link]

Szóval az eredeti függvény x^2*e^(–x), amit ezzel a módszerrel integrálna a kolléga: [link]

De én simán parciálisan integrálnám…

Na, kicsit játszottam a dologgal, és kijön ezzel a módszerrel is. Lehet, hogy ügyesebben is paraméteressé alakítható az integrál, én csak 3-4 lehetőséget néztem meg papíron, azok közül ez tűnt a legjobbnak, de szabad nektek is játszani vele:

[link]

Ha valaki talál olyan f(x, t), a(x) és b(x), amikkel szebben kijön, akkor legalább ezeket ossza meg (a részletes számolást nem kell, az már csak favágás…).

A sima parciális integrálás ebben az esetben mindenképpen sokkal egyszerűbb, nem értem, mit menőzik Wolowitz.

Így általános határokkal nekem egyszerűbbnek tűnt a e^(–t/x) választás az e^(-t*x)-nél.

Viszont határozatlan integrálként szintén kiindulhatunk abból, hogy int(e^(-t/x), t) = –x*e^(–t/x) + C(x). Ennek a deriváltja x szerint:

–(1 + t/x)*e^(–t/x) + C'(x) = int(t/x^2*e^(–t/x), t)

a Feynman-trükk alapján, tehát x = 1-re

int(t*e^(–t), t) = –(1 + t)*e^(–t) + C(1).

Itt az x-es egyenlőtlenséget deriválhatjuk még egyszer, bele helyettesíthetjük ezt az eredményt, és akkor meglesz az eredeti probléma megoldása is.

Persze ha a határokat végtelennek és 0-nak választjuk, akkor még egyszerűbb. Meg úgy néz ki, hogy felesleges volt a határokat változónak vennem, de már mindegy.