Miért nem állítja elő a Taylor-polinomon a függvényt?

A logaritmus függvény semelyik másodfokú polinommal nem egyezik, ha így lenne, akkor nem nevezeték volna el logaritmusnak, hanem mindig a polinomot használnák helyette.

Ha megnézed a 3-ad és 4-ed rendű tagokat, akkor sem kerülsz közelebb a helyes eredményhez?

Másrészt most az sem világos, hogy mit akarsz kiszámolni, és mi körül fejted sorba a logaritmust. Az lg(0,01) érdekel vagy az lg(0,023)?

Végezetül vannak olyan függvények is, hogy a teljes Taylor-soruk sem adja vissza őket. A logaritmusnál is vigyázni kell ilyenekkel, de úgy látom, hogy elvileg a konvergenciatartományon belül vagy.

Tévedtem. Nem számoltad el. A 0.023 kívül esik a konvergenciatartományon, csak a 0 és 0.02 közötti számokra konvergens ez a Taylor-sor.

A legegyszerűbb javítás talán az volna, ha inkább a 0.1 körül fejtenénk sorba.

Én úgy látom konvergenciatartományon belül vagyunk. A probléma a következő: Az ln-fv.-nek zérusban szingularitása van. Ez abban nyilvánul meg, hogy a felírt Taylor-sor sor igen lassan konvergál. Belátható, hogy még az első 100 tag összeadásával is elég pontatlan eredményt kapunk, feltéve hogy x=1 körüli hatványsorról beszélünk.

Ahogy már említették, az egyik megoldás lehet más konvergenciaközéppontot választani.

Egy másik járható út az ún. konvergenciajavítás, ami persze jó bonyolult...

Megjegyzésként még annyit, hogy Taylor-polonimoknál a sorbafejtendő fv.-ek szingularitása külön probléma. Az ln-fv. esetében különösképp, mert a szingularitás helyén nincs véges határérték. (Ha lenne, akkor semmi probléma, pl. a sinx/x-nek is szingularitása van 0-ban, de ott a véges határértéke 1, így minden gond nélkül felírható az ő Maclaurin-sora, ill. adott n-edrendű Maclaurin-polinoma).

> „Én úgy látom konvergenciatartományon belül vagyunk.”

Elsőre én is úgy láttam, de tényleg nem vagyunk ott:

> „feltéve hogy x=1 körüli hatványsorról beszélünk.”

> „0.01 körül nézem az lg Taylor polinomját,”

A 0.01 pedig úgy viszonyul a 0.023-hoz, mint az 1 a 2.3-hoz.

Igazad van, tényleg elszáll. Ha 0.1 körül fejtünk sorba, az már jó választás, a hatodfokú Taylor-polinom az alábbi lesz:

-2.06402 + 26.0577 x - 325.721 x^2 + 2895.3 x^3 - 16286. x^4 +

52115.3 x^5 - 72382.4 x^6

Ezzel log(0.023)=-1.60601, ami kb. 1.9%-os hibát jelent.

Elég lassú még így is a konvergencia!

Fejtsük most 0.05 körüli sorba, ekkor a negyedfokú Taylor-polinom:

-2.20581 + 34.7436 x - 521.153 x^2 + 4632.47 x^3 - 17371.8 x^4

amivel log(0.023)=-1.6309

Ez kb. 0.45%-os hibát jelent.

Vagyis a konvergenciaközéppont "jó" megválasztásával is gyorsítható a konvergencia.

Nyílván pontos a értéket akkor kapnánk vissza, ha 0.023 körül fejtenénk sorba, persze ennek az a szépséghibája, hogy épp a kezdőértéket nem ismerjük...

Persze a 0.05 körüli sorfejtésnek is ez a baja. Azt viszont elvileg megtehetnénk, hogy először 0.1 körül sorfejtünk, és abból kiszámítjuk log(0.05)-öt, így már tudunk 0.05 körül sorfejteni.

Na jó, egyelőre ennyi, lehet hogy belementem eléggé a részletekbe, de hát csak lesz valami hasznos belőle a kérdezőnek.