Hogyan kell tört függvényt integrálni?

Na, a parciális integrálás az az, amit te is felírtál:

int(f(x)*g'(x)) = f(x)*g(x) – int(f'(x)*g(x)).

A vessző az x szerinti deriválás. De valahol nagyon belefutottál a jelöléseidbe, és összekavarodtál. Mi az, hogy df = dx? Meg az f hogyan lesz x? Meg még egy csomó kínos kérdés felmerült bennem…

Itt most érdemes f(x)-et x^2-nek választani, és g'(x)-et e^(–x)-nek.

f'(x) = 2*x, g(x) = int(g'(x)) = –e^(–x)

int(x^2*e^(–x)) = x^2*e^(–x) – int(2*x*(–e^(–x))) = x^2*e^(–x) + 2*int(x*e^(–x)).

Most már csak ezt kell kiszámolnod ami azért egyszerűbb:

int(x*e^(–x)) = ….

Naná, hogy elrontom az előjelet:

int(x^2*e^(–x)) = x^2*(–e^(–x)) – int(2*x*(–e^(–x))) = –x^2*e^(–x) + 2*int(x*e^(–x)).

A másik: a h(x) határozatlan integrálja az a H(x) függvény, amit deriválva h(x)-et kapunk.

Na most, a szorzat deriváltja

(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).

Ha ezt integráljuk, akkor a bal oldalon ugye simán f(x)*g(x) lesz, a jobb oldalon pedig két integrál összege:

f(x)*g(x) = int(f'(x)*g(x)) + int(f(x)*g'(x)),

amit átrendezve

int(f(x)*g'(x)) = f(x)*g(x) – int(f'(x)*g(x)).

Így már világos, hogy mi honnan van, és hogy miért kellenek a deriváltak?

Ezt úgy tudod majd meg, ha játszol vele, azaz megpróbálsz szorzatot integrálni így is meg úgy is.

Az a lényeg, hogy a szorzat egyik tényezőjét elnevezed f(x)-nek, a másikat g'(x)-nek; vagy fordítva: az egyiket g'(x)-nek a másikat f(x)-nek. Azt érdemes vesszősnek nevezni, amelyiket tudod integrálni; mert a másikat aztán már nem kell, csak deriválnod, ami ugye egyszerű. Van olyan, hogy előbb utóbb kijön így is, úgy is; van, hogy csak az egyik módon; van, hogy sehogy se. Néha vissza kapod az eredeti integrált néhány lépés után, viszont ilyenkor van rá egy egyenleted. Akkor tanulod meg, ha csinálod.

Kezdetnek mondjuk fejezd be azt az integrált, amit elkezdtünk, aztán majd mutatok még egy érdekeset.

És még egy idevágó idézet, amit ha integrálni tanulsz, akkor nem árt szem előtt tartanod:

„Deriválni olyan, mint kinyomni a fogkrémet a tubusból. Integrálni pedig olyan, mint megpróbálni visszagyömöszölni bele.”