Hány 50 forintos van legfeljebb a perselyben?
Egy gyerek rendszeresen gyűjtött papírt. A kapott pénzből a 10, 20 és 50 forintosokat perselybe tette.
Amikor a 25. érmét dobta a perselybe, megállapította, hogy ezzel már 500 forintot takarított meg.
Határozzuk meg, hogy ekkor legfeljebb hány 50 forintos érme lehetett a perselyben.
válasza:A megoldás az, hogy visszafelé számolunk.
Ha van 500 forintunk, akkor a legtöbb 50-es akkor lehet benne, ha mindegyik 50-es. Ekkor az érmék száma 10.
Ha "lemondunk" egy 50-esről 5 darab 10-es kedvéért, akkor minden ilyen "lemondás" eggyel csökkenti az ötvenesek számát 1-gyel, és növeli az érmék számát 4-gyel. Az a cél, hogy MINÉL KEVESEBB 50-esről mondjunk le úgy, hogy az érmék száma elérje a 25-öt, és mivel a feladat azt írja, hogy 20-as meg 10-es is van, ezért mindenképp legyen legalább egy 20-asunk.
Na nézzük. Ha egy 50-esről lemondunk, akkor az 50-esek száma 9, az érmék száma 14. Aztán 8 és 18. Aztán 7 és 22. Aztán 6 és 26. Jelen pillanatban 6 db 50-es és 20 db 10-es van a gyűjtőben, ami ugyan 500 forint, de túl sok az érme. Most ne nyúljunk az 50-esekhez, de olvasszunk össze 2 db 10-est egy 20-assá. Tehát ekkor 6 db 50-es, 1 db 20-as, 18 db 10-es van a perselyben. A váélasz az, hogy maximum 6 db 50-es lehet a perselyben.
válasza:Igen, így már indokolható, hogy miért egy darab húszas!
Mivel anonym az oldal így nem tudom, hogy ketten vagy hárman segítettetek, de mindnyájatoknak nagyon köszönöm! Így már megnyugtató lesz a szöveges megoldás is.
válasza:Lent van egy kis mondat minden válasz után:
"A válasz írója 88%-ban hasznos válaszokat ad."
Ahol különbözőt látsz, az biztosan két különböző ember (legalábbis két különböző bejelentkezés). A sok egyforma %-osnál nem lehetsz biztos benne. A kérdésedre, ha jól számolom, legalább 4 különböző ember írt.
válasza:Kedves 13:32, teljesen igazad van.
Így utólag; már tudom azt mondani, hogy tényleg benne van a 9:39-es megoldásodban. De akkor még nem értettem meg.
"Ha van ez a háromfajta érme, és az a kérdés, hogy lehet a legtöbb 50-essel kihozni, akkor az a logikus, hogy legfeljebb egy 20-assal, a többit meg 10-essel kihozni, hiszen utóbbi hozza a legkisebb értéket adott darabszámra." - mondatodban valóban implicite benne van. Bár valószínűleg a "legkisebb" kifejezés hatott rám zavarólag.
12:30-as indoklása azonban, aki fordított alapállásból kezdi és azt mondja, hogy a 10 db 50-estől indulva minél kevesebb 50-es felváltásával minél hamarabb el kellene érni 10 darabról a 25 érmés darabszámot, ebből már logikusan következik, hogy a lehető legtöbb 10-es kell bele, hogy a darabszám mennél hamarabb elérje a 25-öt. Tehát ebben a logikában explicite van benne az, hogy csak kevés húszasnak kell lennie.
Szóval én magam is 12:30-as indoklása alapján értettem meg, fogadtam el, és ami a lényeg - tudtam elmagyarázni a gyereknek úgy a megoldást, hogy ő is megértse.
(A 6 db 50-esig magam is eljutottam, de nem akartam befolyásolni senkit a megoldásommal, valamint nem tudtam bebizonyítani, beláttatni magammal sem, hogy miért csak egy húszas kell.
Ez 12:30-as indoklása alapján sikerült, és azt tudtam mondani a gyereknek, hogy:
Kezdjük 10 db 50 forintossal és a 10 db 50 Ft-osból a leghamarabb el kell jutnunk a 25 db érmés állapotig. Ez a lehető legtöbb tizessel megy. Mivel húszas is van a perselyben, tételezzünk fel egyetlen darabot, és ezt vegyük ki a rendszerből. Ami marad, arra írjunk egyenleteket:
Vezessük be a következő ismeretleneket:
x = az 50 Ft-osok darabszáma
y = a 10 Ft-osok darabszáma
Az egyenleteink a következőek:
[1] x + y = 24 (darabszámra)
[2] 50x + 10y = 480 (értékre)
innen [1]-ből y-t a [2]-be helyettesítve és megoldva x=6 adódik, amit visszahelyettesítve [1]-be y=18
Az eredeti adatokkal ellenőrizve a megoldás helyesnek bizonyul.
11:36-nak köszönöm a ki kicsoda eligazítást!
Jó érzékkel vetted észre, hogy fiatal versenyző vagyok itt a "gyakorikérdések"-en.
Néhány napja regisztráltam, négy napig 100%-os voltam, tegnap 80%-os lettem, ma 88%-os vagyok...
Kösz a segítséget, lassan eligazodom.
Ja, és mivel 12:17 is valószínűleg te vagy, köszönöm még egyszer a számomra hiányzó láncszemet.
U.i.:
Ha valaki a korábbi eszmefuttatások befolyásától mentesen mégiscsak előállna három ismeretlennel és három egyenlettel, tegye meg bátran!
Bár a gyerek már a házi feladatot a jelzett módon már megoldotta, de ez én fejlődésem szempontjából nagyon hasznos lenne ...
válasza:A feladat a számelméletben tárgyalt Diofantoszi egyenletek körébe tartozik, és a legtöbb esetben nem csak egy megoldása van. Nem tudom, milyen suliba jár a gyerek, de kétlem, hogy tanulták volna a Diofantoszi egyenletek megoldását.
Jómagam sem vagyok jártas ezen egyenletek területén, de talán az alábbi megoldást a tantónéni nem fogja találgatásnak minősíteni. :-)
Legyen
x - az 50-es
y - a 20-as
z - a 10-es
érmék száma.
A feladat szerint két egyenlet írható fel (független harmadik viszont nem!)
50x + 20y + 10z = 500
x + y + z = 25
Az első egyenlet mindkét oldalát elosztva 10-el, a következő két egyenlet van
(1) 5x + 2y + z = 50
(2) x + y + z = 25
Az (1)-ből kivonva a (2)-t
(A) 4x - y = 25
majd a (2) kétszeresét kivonva (1)-ből
(B) 3x - z = 0
az (A)-ból
y = 25 - 4x
A (B)-ből
(C) x = z/3
ezt az (A) ba helyettesítve
(D) y = 25 - 4*(z/3)
Tehát van egy
x =f(z) és egy y = f(z) függvényünk, és (C)-ből látható, hogy z-nek 3-mal oszthatónak kell lenni.
Mivel y nem lehet 0 (a 0 = 25 - 4*(z/3) egyenlet megoldása z-re nem egész szám), (D)-ből az y minimális értéke esetére
meghatározható z maximuma. (Tulajdonképpen egy m = -4 iránytangensű és b = 25 állandójú egyenes és az y = 1 egyenes metszéspontja a y-z koordináta rendszerben, ahol z a 3-mal osztható számok halmaza)
Az y minimuma 1, tehát
y = 1
érték behelyettesítése és a műveletek elvégzése után
z = 18
adódik.
Így (C)-ből az x maximuma
x = 6
=====
Tehát
x = 6
y = 1
z = 18
számhármas (egy) megoldása a a feladatnak.
Egyébként minden, z>=3 és z<=18 közötti 3-mal osztható szám megoldása az eredeti - (1) ill. (2) - egyenleteknek.
DeeDee
**************
Kedves DeeDee!
Nagyon köszönöm, ez már az én maximalizmusomat is kielégíti. A Diofantoszi egyenleteket csak hallomásból ismerem, de konkrétan soha nem foglalkoztam vele. Amúgy vegyész vagyok, tehát a matematikát csak a szakmámnak megfelelő mélységig ismerem.
Reméltem, hogy a gyereknek nem adnak hibás és megoldhatatlan feladatot. Emlékeimből viszont csak arra futotta, hogy egy egyenletrendszer megoldásához annyi egymástól független egyenletre van szükségem, ahány ismeretlen van.
A megoldásod nagyon elegáns, és a levezetésed érthető - még számomra is!
Még egyszer: köszönöm!
válasza:Örülök, hogy sikerült segíteni.
DeeDee
**********
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!