Egy diák rendszeresen gyűjtött papírt. A kapott pénzből a 10,20,50 forintosokat perselybe tette. Amikor a 25. érmét dobta a perselybe megállapította h már 500 ft-ot takarított meg. Ekkor legfeljebb hány 50 ft-os érme lehetett a perselyben?

Szerintem legfeljebb 5db 50ft-os érme lehet, mert:

5x50=250

5x20=100

15x10=150

250+100+150 = 500

25 érme = 500 Ft --> 1 érme átlagosan 20 Ft.

A 20 Ft-os átlag úgy jön ki, hogy 3-szor annyi 10 forintos van, mint ahány 50 forintos, és mellette 20 forintosok lehetnek.

Annál több 50 Ft-os van, minél több a 10 ft-os és minél kevesebb a 20 ft-os a perselyben.

Ebből felírható egy egyenlet:

3-szor10x + 50x = 500 -->

80x = 500

x=6,25

-->

6 db 50 ft-os és 3x6 db 10 ft-os. Ez eddig csak 480 ft, és 24 érme, ezért kell egy 20 ft-os is, hogy 25 érme legyen 500 ft értékben.

Legyen

x - az 50-es

y - a 20-as

z - a 10-es

érmék száma.

A feladat szerint két egyenlet írható fel (független harmadik viszont nem!)

50x + 20y + 10z = 500

x + y + z = 25

Az első egyenlet mindkét oldalát elosztva 10-el, a következő két egyenlet van

(1) 5x + 2y + z = 50

(2) x + y + z = 25

Az (1)-ből kivonva a (2)-t

(A) 4x + y = 25

majd a (2) kétszeresét kivonva (1)-ből

(B) 3x - z = 0

az (A)-ból

y = 25 - 4x

A (B)-ből

(C) x = z/3

ezt az (A) ba helyettesítve

(D) y = 25 - 4*(z/3)

Tehát van egy

x =f(z) és egy y = f(z) függvényünk, és (C)-ből látható, hogy z-nek 3-mal oszthatónak kell lenni.

Mivel y nem lehet 0 (a 0 = 25 - 4*(z/3) egyenlet megoldása z-re nem egész szám), (D)-ből az y minimális értéke esetére

meghatározható z maximuma. (Tulajdonképpen egy m = -4 iránytangensű és b = 25 állandójú egyenes és az y = 1 egyenes metszéspontja a z-y koordináta rendszerben, ahol z a 3-mal osztható számok részhalmaza)

Az y minimuma 1, tehát

y = 1

értéket (D)-be behelyettesítve a műveletek elvégzése után

z = 18

adódik maximális értékként.

Így (C)-ből az x maximuma

x = 6

=====

Tehát az

x = 6

y = 1

z = 18

számhármas (egy) megoldása a a feladatnak.

Egyébként minden, a 3 és 18 közötti 3-mal osztható szám - 3 ≤ z ≤ 18 és 3|z - megoldása az eredeti - (1) ill. (2) - egyenleteknek.

DeeDee

**************